32、用于控制的平衡模型：原理、方法与实践

用于控制的平衡模型：原理、方法与实践

1. 高维系统挑战与降阶模型需求

许多实际系统具有极高的维度，这使得对它们进行精确表征变得困难。高维度还会因显著的计算时间延迟而限制控制器的鲁棒性。例如，在流体动力学中，离散化后的控制方程可能具有数百万甚至数十亿个自由度，导致模拟成本极高。因此，人们投入了大量精力来获取能够捕捉最相关机制且适用于反馈控制的降阶模型。

2. 模型降阶与系统辨识方法

2.1 模型降阶方法

从高维系统出发，将动力学投影到低维子空间。常见方法包括：
- 本征正交分解（POD）：通过将系统状态投影到一组正交基上，以能量含量对模式进行排序。
- Galerkin投影：结合POD，将动力学方程投影到低维子空间。
- 离散经验插值方法（DEIM）：用于处理非线性项，提高计算效率。
- 间隙POD（gappy POD）：处理部分测量数据的情况。
- 平衡本征正交分解（BPOD）：基于输入 - 输出能量对模式进行排序。

2.2 系统辨识方法

通过收集模拟或实验数据，使用数据驱动技术识别低秩模型。常见方法包括：
- 动态模态分解（DMD）：通过对数据矩阵进行奇异值分解，提取系统的动态模态。
- 特征系统实现算法（ERA）：从输入 - 输出数据中识别系统的状态空间模型。
- 观测器卡尔曼滤波器识别（OKID）：结合卡尔曼滤波器和观测器，用于系统辨识。
- NARMAX：非线性自回归滑动平均模型，用于处理非线性系统。
- 稀疏识别非线性动力学（SINDy）：通过稀疏回归方法，识别系统的非线性动力学。