30、线性控制理论：从基础到案例应用

线性控制理论：从基础到案例应用

1. 哈密顿公式

在优化问题的求解中，除了拉格朗日公式，还可以引入哈密顿量来解决。哈密顿量定义如下：
[H = \frac{1}{2}(x^ Qx + u^ Ru) + \lambda^ (Ax + Bu)]
由此得到哈密顿方程：
[\dot{x} = \frac{\partial H}{\partial \lambda}^ = Ax + Bu, \quad x(0) = x_0]
[-\dot{\lambda} = \frac{\partial H}{\partial x}^ = Qx + A^ \lambda, \quad \lambda(t_f) = Q_f x(t_f)]
这是一个关于 (x) 和 (\lambda) 的两点边值问题。若代入 (\lambda = Px)，会得到与之前相同的黎卡提方程。

2. 最优全状态估计：卡尔曼滤波器

最优的线性二次型调节器（LQR）控制器依赖于系统的全状态测量。然而，全状态测量可能成本过高或在技术上不可行，特别是对于高维系统。而且，收集和处理全状态测量值的计算负担可能会引入不可接受的时间延迟，从而限制系统的鲁棒性能。

因此，可以尝试从有限的含噪测量值 (y) 来估计系统状态 (x)。只要系统对 ((A, C)) 是可观测的，全状态估计在数学上就是可行的，不过估计的有效性取决于由可观测性格兰姆矩阵量化的可观测程度。

卡尔曼滤波器是最常用的全状态估计器，它能在测量噪声、干扰和模型不确定性之间实现最优平衡。在推导最优全状态估计器时，需要重新引入状态干扰