13、回归与模型选择：机器学习核心技术解析

回归与模型选择：机器学习核心技术解析

1. 机器学习中的优化与模型选择

机器学习的核心在于优化，回归和模型选择框架旨在为数据提供简洁且可解释的模型。曲线拟合是最基础的回归技术，多项式和指数拟合可通过求解线性系统 $Ax = b$ 得到解决方案。

当模型未预先确定时，需使用优化方法选择最佳模型，这会将函数拟合的数学问题转化为线性系统的过定或欠定优化问题：
- 过定系统：$\text{argmin}_x(|Ax - b|_2 + \lambda g(x))$
- 欠定系统：$\text{argmin}_x g(x)$，约束条件为 $|Ax - b|_2 \leq \epsilon$

其中，$g(x)$ 是给定的惩罚项（过定系统中有惩罚参数 $\lambda$）。对于过定和欠定线性方程组，为得到解，需选择约束或惩罚（即正则化）。例如，在欠定系统中可强制解最小化 $\ell_2$ - 范数，即 $\min g(x) = \min |x|_2$。

更一般地，考虑非线性模型回归时，整体数学框架为：
- $\text{argmin}_x(f(A, x, b) + \lambda g(x))$
- $\text{argmin}_x g(x)$，约束条件为 $f(A, x, b) \leq \epsilon$

这些问题常使用梯度下降算法求解，此框架也是深度学习算法的核心。

2. 数据科学中的过拟合与欠拟合及交叉验证

在数据科学中，判断模型是否过拟合或欠拟合至关重要，因此交叉验证策略对评估模型极为关键。给定数据集需划分为训练集、验证集和保留集。模型由训练集和验证集构建，最后在保