9、傅里叶与小波变换的深入解析

傅里叶与小波变换的深入解析

1. 傅里叶变换相关拓展

1.1 Burgers 方程在傅里叶变换域的右侧项

在处理 Burgers 方程时，可使用如下 Python 代码来计算其在傅里叶变换域的右侧项：

import numpy as np

def rhsBurgers(u, t, kappa, nu):
    uhat = np.fft.fft(u)
    d_uhat = (1j) * kappa * uhat
    dd_uhat = -np.power(kappa, 2) * uhat
    d_u = np.fft.ifft(d_uhat)
    dd_u = np.fft.ifft(dd_uhat)
    du_dt = -u * d_u + nu * dd_u
    return du_dt.real

1.2 加博变换与频谱图

傅里叶变换虽能详细给出信号的频率信息，但无法表明这些频率在何时出现，只能刻画真正的周期性和稳态信号。而加博变换（也称为短时傅里叶变换，STFT）通过在移动窗口中计算加窗 FFT，实现了频率内容在时间上的定位，得到了频谱图（频率与时间的关系图）。

STFT 的公式为：
[G(f )(t, \omega) = \hat{f} g(t, \omega) = \int {-\infty}^{\infty} f (\tau)e^{-i\omega\tau} \overline{g}(\tau - t) d\tau = \langle f, g_{t,\omega