31、高斯混合模型的密度估计与EM算法详解

高斯混合模型的密度估计与EM算法详解

1. 高斯混合模型权重参数更新

在高斯混合模型（GMM）中，权重参数的更新会对模型的密度估计产生显著影响。以一个具体示例来说，在更新混合权重之前和之后，GMM的密度分布会发生变化。

在示例中，初始时三个混合分量的权重均为 $\frac{1}{3}$，更新后权重变为：
- $\pi_1$: $\frac{1}{3} \to 0.29$
- $\pi_2$: $\frac{1}{3} \to 0.29$
- $\pi_3$: $\frac{1}{3} \to 0.42$

可以看出，第三个分量的权重增加，变得更重要，而其他两个分量的重要性略有下降。更新混合权重后，GMM密度的部分质量向数据点转移，模型拟合效果显著提升。这一点也可以从对数似然值的变化得到证明，经过一次完整的更新循环，对数似然值从初始化的28.3增加到了14.4。

2. EM算法

由于混合模型参数 $\mu_k$、$\Sigma_k$、$\pi_k$ 的更新没有封闭形式的解，因为责任 $r_{nk}$ 与这些参数存在复杂的依赖关系。不过，这启发我们采用一种简单的迭代方案来解决参数估计问题，即期望最大化算法（EM算法）。

EM算法是一种通用的迭代方案，用于在混合模型和潜在变量模型中学习参数（最大似然或最大后验）。在高斯混合模型的例子中，EM算法的具体步骤如下：
1. 初始化 ：选择 $\mu_k$、$\Sigma_k$、$\pi_k$ 的初始值。
2. E步 ：使用当前参数 $\pi_k$、$\mu_