14、线性化、多元泰勒级数与概率空间构建

线性化、多元泰勒级数与概率空间构建

1. 线性化与多元泰勒级数

在函数分析中，线性化和多元泰勒级数是重要的工具。对于一个二次连续可微的函数 (f(x, y))，有 (\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y} = \frac{\partial^2f}{\partial y\partial x})，对应的海森矩阵 (H = \begin{bmatrix} \frac{\partial^2f}{\partial x^2} & \frac{\partial^2f}{\partial x\partial y} \ \frac{\partial^2f}{\partial x\partial y} & \frac{\partial^2f}{\partial y^2} \end{bmatrix}) 是对称的，海森矩阵通常记为 (\nabla^2_{x,y}f(x, y))，它用于衡量函数在 ((x, y)) 附近的局部曲率。

函数 (f) 的梯度 (\nabla f) 常被用于在 (x_0) 附近对 (f) 进行局部线性近似：
[f(x) \approx f(x_0) + (\nabla_x f)(x_0)(x - x_0)]
这种近似在 (x_0) 附近是准确的，但随着远离 (x_0)，近似效果会变差。上述公式是 (f) 在 (x_0) 处多元泰勒级数展开的一个特殊情况，只考虑了前两项。

下面介绍向量外积的概念，向量的外积会使数组的维数每次增加 1。例如，给定向量 (\delta \in \mathbb{R}^4)，(\delta^2 := \delta \otimes \delta = \delta\delta^T