8、旋转与矩阵分解：数学基础与应用

旋转与矩阵分解：数学基础与应用

旋转相关知识

旋转是一种线性映射，具有长度和角度保持的特性，其变换矩阵为正交矩阵。旋转在计算机图形学和机器人学等领域有着重要应用，例如机器人手臂需要旋转关节来拾取或放置物体。

二维空间中的旋转

在二维空间(R^2)中，标准基为(\begin{Bmatrix} e_1 = \begin{bmatrix}1\0\end{bmatrix}, e_2 = \begin{bmatrix}0\1\end{bmatrix}\end{Bmatrix})。当将这个标准坐标系绕原点旋转角度(\theta)时，旋转后的向量仍然线性独立，构成了(R^2)的一个新基，这意味着旋转实现了一次基变换。
通过三角函数可以确定旋转轴相对于标准基的坐标：
(\varPhi(e_1) = \begin{bmatrix}\cos\theta\\sin\theta\end{bmatrix})
(\varPhi(e_2) = \begin{bmatrix}-\sin\theta\\cos\theta\end{bmatrix})
因此，实现基变换到旋转坐标的旋转矩阵(R(\theta))为：
(R(\theta) = \begin{bmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix})

三维空间中的旋转

在三维空间(R^3)中，可以绕一维轴旋转任意二维平面。定义旋转矩阵的一种简单方法是指定标准基(e_1, e_2, e_3)的像如何旋转，并确保这些像(Re_1, Re_2, Re_3)相互正交。