高数整理

$$cscx=\frac{1}{cosx}$$
$$secx=\frac{1}{sinx}$$
$$cotx=\frac{1}{tanx}$$
$$(arcsinx{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$
$$(arccosx{)}^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$
$$(arctanx{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}$$
$$(arccotx{)}^{\prime }=-\frac{1}{1+x^2}$$

极限

• 唯一性（左右极限相等）
• 局部有界性
• 局部保号性

微分方程

一阶

$$y^{\prime }=f(x)g(y)$$
$$y^{\prime }=f(ax+by+c)$$
$$y^{\prime }=f(\frac{y}{x})$$
$$\frac{1}{y^{\prime }}=f(\frac{x}{y})$$
$$同乘e^{\int p(x)dx}：y^{\prime }+p(x)y=q(x)$$
$$伯努利：y^{\prime }+p(x)y=q(x)y^n$$

二阶

$$y^{\prime \prime }=f(x,y^{\prime })$$
$$y^{\prime \prime }=f(y,y^{\prime })$$
$$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=f(x)$$
$$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=f_1(x)+f_2(x)$$
$$x^2{y}^{\prime \prime }+px{y}^{\prime }+qy=f(x)，令x=e^t$$
$$

$$

等价无穷小

• sinx ~ x ~ ln(x+1) ~ tanx ~ e^2-1 ~ arctanx ~ arcsinx
• (1+x)^a -1 ~ ax
• a^x-1~xlna

$$1-cosx\sim \frac{x^2}{2}$$
$$(1+x{)}^a-1\sim ax$$

$$(1+x{)}^{\frac{1}{x}}\sim e$$

等价无穷大

$$(1+\frac{1}{x}{)}^x\sim e$$
$$\sqrt[n]{n}\sim 1$$
$$\sqrt[n]{a}\sim 1$$

傅里叶级数

微分积分定理

• 费马定理
• 罗尔定理
• 拉格朗日中值定理
• 柯西中值定理
• 泰勒定理
  拉格朗日余项和佩亚诺余项
  麦克劳林公式（ x_0=0 ）

函数微分与增量

$$\Delta y=dy+o(\Delta x)$$
或者
$$\Delta y=f^{\prime }(x_0)\Delta x+o(\Delta x)$$
都可以。

$$dy=f^{\prime }(x_0)\Delta x$$
根据泰勒公式(存在二阶导数)
$$\Delta y-dy=\frac{1}{2}{f}^{\prime \prime }(\xi )(\Delta x{)}^2$$

三重积分

球坐标

$$x=rsin\phi cos\theta$$
$$y=rsin\phi sin\theta$$
$$z=rcos\phi$$
$$dV=r^{2}sin\phi drd\phi d\theta$$

二类曲线积分 格林公式

需要补线。
正向延线，区域始终在左侧。

二类曲面积分 高斯公式