LeetCode 775. Global and Local Inversions (题目问的不一定就是解决问题的必经之路，换个思路也许有更简单的解法)

简介

题目链接 Leetcode 775. Global and Local Inversions

这题也不算是什么难题，只是想借由题目来讲一个思想，那就是：审题后要对题目所需进行拆解，以得出最优的方案，有时候“所见即所得”不一定是件好事。

题目中提到

Return true if and only if the number of global inversions is equal to the number of local inversions.
返回true如果全局倒置的数量等于本地倒置的数量

如果按照题目要求的去做，很有可能出现以下过程：

• 计算全局倒置和本地倒置的数量
• 比较二者的总量，返回结果

但实际上，如果对题目有更深入的理解就会发现，全局倒置=本地倒置+非本地倒置，一旦我们发现任何形式的非本地倒置（也就是说A[i] < A[j], j < i-1），就可以直接得出False的结论。因为无论如何，本地倒置的数量不可能超过全局倒置，一旦有任何非本地倒置，就说明，全局倒置不可能等于本地倒置。

注意：文章中一切注解皆为Python代码

理解题目

给定一个列表A，是数字[0, 1, 2, ..., n-1]的排列(Permutation)。其中，本地倒置(local inversion)是说：

• A[i] < A[i-1]

而全局倒置是说任何形式的倒置，也就是说：

• A[i] < A[j], j < i

因此，我们可以得出推论：

• 全局倒置包含本地倒置
• 全局倒置 = 本地倒置 + 非本地倒置
• 非本地倒置可以定义为：A[i] < A[j], j < i-1

所以，与其去计算本地倒置和全局倒置再互相比较，为什么不去判断一下非本地倒置是不是0呢？

代码实现

a. 直观解法

计算本地倒置和全局倒置，再互相比较

class Solution:
    def isIdealPermutation(self, A: List[int]) -> bool:
        n = len(A)
        g = local = 0
        for i in range(1, n):
            if A[i] < A[i-1]:                   # Calculate local inversion
                local += 1
            if A[i] < i:                        # Calculate global inversion
                diff = i - A[i]                 # diff = actual_index - index_this_value_is_supposed_to_have_if_the_list_is_in_order
                g += diff * (diff+1) // 2       # see explanation for this formula from `Explanation` section
        return g == local

b. 深入理解思考后的解法

即上文有提到的：

判断一下非本地倒置是不是0

反向遍历，记录最小值，如果发现A[i] < A[j], j < i-1就返回False。因为有记录最小值，因此可以换一种写法，写作A[i] < A[j], j == i-2。

class Solution:
    def isIdealPermutation(self, A: List[int]) -> bool:
        floor = N = len(A)
        for i in range(N-1, 1, -1):
            floor = min(floor, A[i])
            if A[i-2] > floor: return False
        return True

解题后的思考

尽管两种方法都是O(N)的时间复杂度，O(1)的空间复杂度，但是后者代码明显简介，而且最优时间可以做到O(1)，综合来讲还是要优于第一种解法。

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理解题目，并进行深层次的思考是如此重要，不仅能帮助解题，甚至还能优化时间复杂度，让解法更简便。