53、广义回文中的无限富字与近富字及可重置下推自动机模型研究

广义回文中的无限富字与近富字及可重置下推自动机模型研究

广义回文无限字相关内容

在研究无限字时，如果将注意力限制在一致递归字上，就可以给出具有有限 Θ - 缺陷的字的几种特征描述。下面的命题给出了其中两个，在后续内容中会用到。

命题 7 ：设 u 是一个语言在 Θ 下封闭的一致递归无限字。以下陈述是等价的：
- (D_Θ(u) < +∞)；
- 存在一个正整数 K，使得对于任何长度 (|w| ≥ K) 的 Θ - 回文 (w ∈ L(u))，w 的所有完全返回字都是 Θ - 回文；
- 存在一个正整数 H，使得对于任何 (w ∈ L(u))，当 (|w| > H) 时，w 的最长 Θ - 回文后缀在 w 中是唯一出现的。

带有种子的 Θ - 标准字是通过使用 Θ - 回文闭包定义的无限字。这种字 u 的构造保证了 u 是一致递归的。并且，足够长的 Θ - 回文因子的任何完全返回字也是 Θ - 回文。因此，带有种子的 Θ - 标准字是几乎 Θ - 富字的一个例子。

推论 8 ：设 u 是带有种子的 Θ - 标准字。那么 (D_Θ(u) < +∞)。

接下来是几个定理的证明：
- 定理 1 的证明 ：根据定理 5，语言 (L(u)) 在 (Θ_1) 下是封闭的。如果 u 是一个语言在 (Θ_1) 下封闭的最终周期字，那么 u 是纯周期的。任何纯周期字都是一个单字母字母表上的字 v 在一个将该字母映射到 u 的周期的态射下的态射像。所以不妨假设 u 不是最终周期的。
由于 (