48、关于自由伯恩赛德半群的布罗佐夫斯基猜想相关研究

关于自由伯恩赛德半群的布罗佐夫斯基猜想相关研究

在研究自由伯恩赛德半群的过程中，有许多重要的概念、算法和定理，下面将详细介绍其中的关键内容。

基本定义与命题

首先，对于任意语言 (L)，自然地定义 (r^{-1} 1 (L) = \bigcup {U\in L} r^{-1} 1 (U))，(r^{-1}(L) = \bigcup {U\in L} r^{-1}(U))，以及 (r^{-1} T (L) = \bigcup {U\in L} r^{-1}_T (U))。

命题 5 给出了重要的关系：
- 对于任意单词 (U)，([U] {r1} = r_1([U])) 且 ([U] = r^{-1}_1 ([U] {r1}))。
- 如果 (U) 是 (AB) - 整体且没有不可约尾部，那么 ([U] r = r([U] {r1})) 且 ([U]_{r1} = r^{-1}([U]_r))。

根据命题 1，任意 (r) - 约化单词 (U) 是 (\theta) - 像的一个因子，即 (r(U) = cQ_1 \cdots Q_kd)，其中 (Q_1, \cdots, Q_k \in {ab, ba})，(c, d \in {a, b, \lambda})。若 (U) 包含因子 (aa) 或 (bb)，这种表示是唯一的；若 (U) 没有这样的因子，额外要求 (c = \lambda) 也能得到唯一表示。

为了将单词 (U) 转换为 (\theta) - 像，定义 (\eta(U) = Q_1 \cdots Q_