43、二元有限自动机的变换半群描述

二元有限自动机的变换半群描述

1. 二元有限自动机行为与半群基础

• 当已知二元有限自动机（2DFA）在字符串 $u, v \in \Sigma^+$ 上的行为分别为 $f$ 和 $g$ 时，其在连接字符串 $uv$ 上的行为可通过 $g \cdot f$ 计算得出。这里的 $\cdot$ 是由 Birget 定义的双路变换 $f, g: N \to N$ 的某种乘积。对于任意字符串 $u, v \in (\Sigma \cup {\vdash, \dashv})^+$ 和任意 2DFA $A$，都有 $f_A^{uv} = f_A^v \cdot f_A^u$。
• 配备了乘积 $\cdot$ 的 $TT_Q$ 构成一个半群。这个半群由特定的双路变换生成，$TT_Q$ 中的元素恰好是某个 2DFA 在某个字符串上的行为。更确切地说，$TT_Q$ 中的每个元素都可以表示为两个特定变换的乘积。需要注意的是，$TT_Q$ 不是幺半群，因为它缺少单位元。虽然存在一个由 $e(\alpha) = \alpha$ 定义的单位双路变换，但它不满足条件 (1)。因此，双路自动机的半群表示仅考虑它们在非空输入上的计算。空字符串可以在从半群转换回自动机时重新引入。
• 2DFA 的计算与半群 $TT_Q$ 之间存在如下形式上的联系：
  • 命题 1：设 $A = (\Sigma, Q, q_1, \delta)$ 是一个 2DFA，考虑由特定双路变换 $f_A^a$（$a \in \Sigma \cup {\vdash, \dashv}$）生成的 $TT_Q$ 的子半群。那么 $L(A) = {a_1 \cdots a_{\ell} | (f_A^{\dashv