动态规划-有向无回路图中两点间最远距离

题目来源于《算法导论》第15章动态规划的习题 15-1，显然建议使用DP

对最小距离大家应该都比较熟悉，比如对非负权值图中有Dijkstra算法，对负权值图中有Ford算法。  最远距离？假设从A到F的最远距离为A->C->D->E->F, 为什么D->E->F一定会是从D到F的最远距离？我在这点证明困扰了很久，直到最近才想明白其中原理。

当重新审视有向(directed) 无回路(acyclic)这两个词时，我才突然想到原来可以这样证明：

依然假设A到F的最远距离为A->C->D->E->F, 现在考虑从D到F：如果存在B，使得D->B->F更远，那么我们直接可以用这段路径代替D->E->F, 这与我们之前的假设相矛盾；如果D经过C再到达F的距离更远，比如D->C->(E)->F, 那就说明存在回路D<->C, 这与条件相矛盾。所以，这里，D->E->F必然是从D到F的最远路径。算法的理论基础终于找到了！

OK,既然最远子路径是问题的必要条件，那么反过来，我们找到每一个点（除了终点以外）到达终点的最远路径，就可以作为整个问题的充分条件。我们需要一个合适的顺序，遍历所有顶点，从终点开始，逐渐向外扩展。问题到了这里就很明显了，采用拓扑序，广度优先的方式遍历。

具体实现中，我用了一个queue存放BFS中覆盖到的顶点。注意在每加入一个新的顶点v时，除了要遍历已计算过的顶点再确定最大的path[v]时，还要反过来考虑对于已经计算过最远距离的顶点u,如果存在权边u->v,那么path[u]也可能需要更新，这一步是最远路径问题相比于最短路经多出来的一步。

建议同学们自己实现一遍整个方法。因为对于图论问题，实现算法会产生很多自己独到的感觉，尤其是一些辅助性的数据结构。以下是我的一份实现：

int longestpath(int** adjMtx, int n, int s, int t){
    int* paths = new int[n](); //paths[i] means path from i to t
    int* entries = new int[n](); //mark whether vertex has been pushed to queue
    int* pnext = new int[n](); //pnext[i] means for longest path (i,t), next vertex
    queue<int> vqueue;
    vqueue.push(t);
    entries[t]=1;
    while(!vqueue.empty()){
        int v = vqueue.front();
        vqueue.pop();
        if(v != t){ //update paths[v], while paths[t] = 0
            int* edgesv = adjMtx[v];
            for(int i=0;i<n;++i){ //edgesv[i] means edge (v,i)
                if(i != v && edgesv[i] != 0){
                    if(paths[v] < edgesv[i] + paths[i]){ //update path(v,t) if it < edge(v,i) + path(i,t)
                        paths[v] = edgesv[i] + paths[i];
                        pnext[v] = i;
                    }
                }
            }
            for(int i=0;i<n;++i){ //update paths[i] if paths[i] < edge(i,v) + paths[v]
                if(i != v && paths[i] > 0 && adjMtx[i][v] != 0 && adjMtx[i][v] + paths[v] > paths[i]){
                    paths[i] = adjMtx[i][v] + paths[v];
                    pnext[i] = v;
                }
            }
        }
        for(int i=0;i<n;++i){ //push i if edge (i,v) occurs
            if(i != v && adjMtx[i][v] != 0 && entries[i]==0){
                vqueue.push(i);
                entries[i]=1;
            }
        }
    }
    int vn = s;
    printf("the longest path from %d to %d is: %d", s, t, vn);
    while(pnext[vn] != 0){
        vn = pnext[vn];
        printf(" -> %d", vn);
    }
    printf("\n");
    int sum = paths[s];
    /*delete paths, entries, pnext*/
    return sum;
}

另外说下测试数据，下面是我用到的两个图

图一从A到F，最远路径为A->B->C->E->F，长度为10；图二从A到E，最远路径是A->D->B->C-E, 长度为8.