树状数组（binary indexed tree)

树状数组是一种用于查询区间和的数据结构。

比如对于数组a[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10],我们要知道它的前4项和，我们就需要把这前四个一个个加起来才能得到结果，也就是O(K)(前k项和）的复杂度。如果查询次数少，k也比较小还可以接受，但是在大规模的查询和数据量时，这个复杂度就太高了。树状数组就是为了解决这个问题而创造出来的，它能在log(k)的复杂度内查询区间和。

树状数组其实就是把一颗二叉树压缩在了一个数组里，看下图（一如既往的丑）：

 

对于数组[1,2,3,4]，我们把它转化为一个求和树，每个节点的值就是它的两个子节点的值，此时我们要求前k项就比较好求了，比如求前4项，我们可以直接给出节点10。但是我们如何用一个树组来表示它呢？如果要每个节点都有一个位置对应，起码得有2n个节点，但是我们只用n个。考虑b,d两个节点，其实b里面已经包含了d，所以我们可以把他们合并。同样，a里面其实包含了e,g他们也可以合并到位置4。

  我们来看看一般的规律（下面的位置索引都是二进制值）：

索引	包含值
001(1）	001
010(2）	001 010
011(3）	011
100(4）	001 010 011 100

 不难看出一个位置包含的区间，其实就是它的二进制表示去掉从右到左第一个1得到的值 ——>该位置。

要得到从左到右第一个1也很简单 x&(-x)即可。

下面是具体代码：

#include<iostream>
using namespace std;
//Binary Indexed Tree(BIT)
//得到x只剩下从右到左第一个一时的值。
 int getk(int x){
  return x&(-x);
}
//由正常的数组建立树状数组
 void build(int s[],int size){
  for(int i=1;i<=size;i++){
    int next = getk(i)+i;
    if(next<=size)s[next-1] += s[i-1];
  }
}
//更新一个位置的值
void update(int s[],int size,int k,int dt){
  k++;
  while(k<=size){s[k-1]+=dt;k+=getk(k);}
}
//求前k项和
int ksum(int s[],int size,int k){
  int result = 0;
  while(k>1){cout << k << endl;result += s[k-1];k -= getk(k);}
  return result;
}
int main(){
  int a[10] = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10};
  build(a,10);
  cout << ksum(a,10,4) << " " << ksum(a,10,7) << endl;
  update(a,10,4,-1);
  for(int i=0;i<10;i++){
    cout << a[i] << " ";
  }
  cout << endl;
}