18、图算法：Dijkstra、Warshall及其改进算法解析

图算法：Dijkstra、Warshall及其改进算法解析

1. 最短路径问题与Dijkstra算法

在图论中，最短路径问题是一个经典问题。从源顶点 $s$ 到目标顶点 $t$ 的路径，如果不存在权重更小的路径，那么这条路径就是最短路径。对于一个加权有向图 $G = (V, E)$，其权重函数 $w: E \to R$ 将边映射为实数值权重。路径 $p = < V_0, V_1, \cdots, V_m >$ 的权重是其组成边的权重之和，即：
[ w(p) = \sum_{i = 1}^{k} w(V_{i - 1}, V_i) ]
我们定义从顶点 $u$ 到顶点 $v$ 的最短路径权重为：
[ \delta(u, v) = \min (w(p): u \to v) ]

1.1 Dijkstra算法概述

Dijkstra算法由荷兰计算机科学家Edsger Dijkstra发现，是一种贪心算法，用于解决具有非负边权重的有向图 $G = (V, E)$ 的单源最短路径问题，即假设对于每条边 $(u, v) \in E$，都有 $w(u, v) \geq 0$。

该算法维护一个集合 $S$，其中包含从源顶点 $s$ 出发的最终最短路径权重已经确定的顶点。也就是说，对于所有 $v \in S$，有 $d[v] = \delta(s, v)$。算法重复执行以下步骤：选择 $V - S$ 中最短路径估计值最小的顶点 $u$，将其插入集合 $S$，并对离开 $u$ 的所有边进行松弛操作。同时，使用一个优先队列 $Q$ 来存储 $V - S$ 中的所有顶点，以它们的 $d$ 值作为键。图 $G$ 用邻接表表示。