徒步旅行中的补给问题

问题描述

小R正在计划一次从地点A到地点B的徒步旅行，总路程需要 N 天。为了在旅途中保持充足的能量，小R每天必须消耗1份食物。幸运的是，小R在路途中每天都会经过一个补给站，可以购买食物进行补充。然而，每个补给站的食物每份的价格可能不同，并且小R最多只能同时携带 K 份食物。

现在，小R希望在保证每天都有食物的前提下，以最小的花费完成这次徒步旅行。你能帮助小R计算出最低的花费是多少吗？

---

测试样例

样例1：

输入：n = 5 ,k = 2 ,data = [1, 2, 3, 3, 2]
输出：9

样例2：

输入：n = 6 ,k = 3 ,data = [4, 1, 5, 2, 1, 3]
输出：9

样例3：

输入：n = 4 ,k = 1 ,data = [3, 2, 4, 1]
输出：10

对题目初步理解

小R计划从地点A到地点B的N天徒步旅行，每天需消耗1份食物，每天经过补给站可购买食物，但价格不同且最多携带K份食物。需计算完成旅行所需的最小花费。

解题思路

1. 初始化：

   • dp[0][j] 表示第0天结束时，携带 j 份食物的最小花费。由于第0天没有花费，所以 dp[0][j] 应该初始化为 j * data[0]，即在第0天购买 j 份食物的花费。

2. 状态转移：

   • 对于每一天 i，我们需要考虑两种情况：

     • 不购买食物：如果前一天携带了 j-1 份食物，那么今天消耗1份食物，花费不变。即 dp[i][j] = dp[i-1][j-1]。
     • 购买食物：如果前一天携带了 w 份食物，今天购买 j-w 份食物。即 dp[i][j] = dp[i-1][w] + (j-w) * data[i]。

   • 我们需要在所有可能的 w 中选择最小的花费。

3. 最终结果：

   • 最终结果是 dp[N-1][0]，即在第 N-1 天结束时，携带0份食物的最小花费。

关键点

·初始化一开始的状态（带了多少）

·某天有没有买

·一天结束后剩余的食物

·最终结果是 dp[n-1][0]，即在第 n-1 天结束时，携带0份食物的最小花费。

代码实现

public class Main {
    public static int solution(int n, int k, int[] data) {
        int[][] dp = new int[n + 10][k + 10];
        
        // 初始化第0天的状态
        for (int i = 1; i <= k; i++) dp[0][i] = i * data[0];
        
        // 初始化超出携带上限的状态（控制不能带太多）
        for (int i = 0; i < n; i++) dp[i][k + 1] = 0x3f3f3f3f;
        
        // 动态规划状态转移
        for (int i = 1; i < n; i++) {   //天数变化
            for (int j = 1; j <= k; j++) {  //每一天结束时可能携带的食物
                dp[i][j] = 0x3f3f3f3f;
                for (int w = 1; w <= j + 1; w++) {
                    dp[i][j] = Math.min(dp[i][j], dp[i - 1][w] + (j - w + 1) * data[i]);
                }
            }
        }
        
        // 返回最终结果
        return dp[n - 1][1];
    }
    
    public static void main(String[] args) {
        // 测试样例
        System.out.println(solution(5, 2, new int[]{1, 2, 3, 3, 2}) == 9);
    }
}

总结

我们使用动态规划来解决这个问题。定义一个二维数组 dp，其中 dp[i][j] 表示在第 i 天结束时，携带 j 份食物的最小花费。首先初始化，其次进行状态转移，利用二维数组，再取最小值，得到最后结果。