并查集

来自：百度百科：http://baike.baidu.com/view/521705.htm

一、引入

问题：第一行：三个整数n,m,p，（n< =5000,m< =5000,p< =5000），分别表示有n个人，m个亲戚关系，询问p对亲戚关系。 以下m行：每行两个数Mi，Mj，1< =Mi，Mj< =N，表示Mi和Mj具有亲戚关系。 接下来p行：每行两个数Pi，Pj，询问Pi和Pj是否具有亲戚关系。（亲戚具有相互传递关系）

难点：用图的数据结构的最大问题是，我们无法存下多至(M=)2 000 000条边的图，后面关于算法时效等诸多问题就免谈了。用图表示关系过于“奢侈”了。其实本题只是一个对分离集合（并查集）操作的问题。

二、并查集原理

我们可以给每个人建立一个集合，集合的元素值有他自己，表示最开始时他不知道任何人是它的亲戚。以后每次给出一个亲戚关系a, b，则a和他的亲戚与b和他的亲戚就互为亲戚了，将a所在集合与b所在集合合并。对于样例数据的操作全过程如下：
输入关系 分离集合
(2,4) ：{2,4}
(5,7) ：{2,4} {5,7}
(1,3) ：{1,3} {2,4} {5,7}
(8,9) ：{1,3} {2,4} {5,7} {8,9}
(1,2) ：{1,2,3,4} {5,7} {8,9}
(5,6) ：{1,2,3,4} {5,6,7} {8,9}
(2,3) ：{1,2,3,4} {5,6,7} {8,9}
最后我们得到3个集合{1,2,3,4}, {5,6,7}, {8,9}，于是判断两个人是否亲戚的问题就变成判断两个数是否在同一个集合中的问题。如此一来，需要的数据结构就没有图结构那样庞大了。

三、实现

1、建立集合

建立集合过程的时间复杂度依然为O(1)。

SUB-Make-Set(x)
20 p[x]←x
21 //rank[x]←0 （用于启发式合并优化，但是在采用路径压缩优化后，没必要再使用启发式优化了。）

2、合并集合（采用路径压缩优化）

递归法：

SUB-Find-Set(x)
24 if x=p[x]
25 then return x
26 else return SUB-Find-Set(p[x])

迭代法：

SUB-Find-Set(x)
35 r←x
36 while r≠p[r]
37 do r←p[r] 
   end while
38 while x!=r
39 do q←p[x]
40 p[x]←r
41 x←q
   end while
42 return r

3、一个简单的实现

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
 
using namespace std;
 
int father[50002],a,b,m,n,p;
int find(int x){
if(father[x]!=x)
    father[x]=find(father[x]);
/*
x代表例题中的人，father[x]中所存的数代表这一集合中所有人都与一个人有亲戚关系
相当于例题中第一个集合所有的元素都与第一个元素有亲戚关系
搜索时只要找元素所指向的father[x]=x的元素(即父元素)
然后比较两个元素的父元素是否相同就可以判断其关系
*/
return father[x];
}
int main(){
int i;
scanf("%d%d%d",&n,&m,&p);
for(i=1;i<=n;i++)
father[i]=i;
for(i=1;i<=m;i++){
scanf("%d%d",&a,&b);
a=find(a);
b=find(b);
father[a]=b;
}
for(i=1;i<=p;i++){
scanf("%d%d",&a,&b);
a=find(a);
b=find(b);
if(a==b)
printf("Yes");
else
printf("No");
}
return 0;
}