最小生成树基本算法---算法导论读书笔记

    首先谈下对最小生成树(Minimum Spanning Tree, MST)用处的理解，然后给出经典的Kruskal和Prim算法的伪码和理解。

    首先显然它是解决最优化问题的，用的是贪心的思想（于是显然它是非常“优”的了，能用它解决就用它吧）。

    最小生成树是从一个图简化而来，保留所有的（从树的角度来讲是连通图的所有）顶点以及连通性，砍掉尽可能多的边并使得剩下的边权值的和最小（用最短的边保持连通性）。

    映射到现实问题，当我们面对一些有关系的实体（比如一个实体可以导出另一个实体），我们不愿丢掉连通性（砍掉两点之间的边一定是在有其它路径存在的前提下），希望获得最小代价的时候，可以考虑最小生成树。它与单源最短的区别就在于，第一它是全局的一种优化，没有指定的起点，不是针对某个特定的实体对其他的实体关系的问题；第二它多条边组成的路径对两端的点来说未必是最短的，但是它每条边对于两边的集合来说是最短的，单源最短路具有最优子结构，也就是说，单源最短路生成的图中，只要源点不作为中点，任意两点之间的路径一定是最短路。

    最小生成树总的贪心思路是：每一步加入一条安全边。Kruskal和Prim以不同的方式寻找安全边。

    说明一些术语：

        安全边：不妨碍最小生成树边集的一条割的轻边。

        割：把顶点分成两个集合，把相连的边剪掉。宛如一把剪刀。

        不妨碍：A是一个边的集合，A中没有边通过割B，就说割B不妨碍边集A。

        轻边：最小权值边。

 Kruskal：

 MST-KRUSKAL(G,w)

 

//initial
A <- empty
for each vertex v from V[G]
     do MAKE-SET(v)
//add safe edge to form tree
sort the edges of E into nondecreasing order by weight w
for each edge(u,v) from E
   do if FIND-SET(u) != FIND-SET(v)
        then A <- A + {(u,v)}
                UNION(u,v)
return A

    算法思想是维护不想交的元素集合，连接这些集合的边是安全边。一个集合看做一个树，也就是一开始就是把图割成各个顶点独自组成各自树，集合中是当前森林一棵树中的顶点。这个森林没有丢点，但失去了连通性。FIND-SET(u)返回包含u的集合中的一个代表元素，以此对两个点使用可以测试是否在同一个集合，用UNION合并集合。我们不断用最小的边连通原本不连通的集合。

    它的运行时间取决于集合的实现方式。

Prim；

MST-PRIM(G,w,r)

//initial
for each u from V[G]
  do key[u] <- inf //infinity
     pre[u] <- NULL
key[r] <- 0
Q <- V[G]
//add safe edge to form tree
while Q != empty
   do u <- EXTRACT-MIN(Q)
      for each v from Adj[u]
          do if v from Q and w(w,v) < key[v]
                then pre[v] <- u
                     key[v] <- w(u,v)

    算法很像Dijkstra，它本身只找出树不找出整个森林（当然我们可以再外面套一个循环找出森林），不断向集合加入一个离集合最近的点与边，找出连通子集的所有点，在找的过程中就保证了连通性。key[v]代表v到集合轻边的值（没有边则为infinity）。

    性能取决于优先队列Q的实现。

比较：

    Kruskal适合稀疏图，Prim适合稠密图。但它们从渐进意义上好的实现的复杂度是相等的。

习题应用:

    poj1789,poj2485,poj1258,poj3026