RSA算法模拟实验报告

课程名称	网络安全			实验 成绩
实验	RSA算法模拟
学号		姓名		日期	2024.9.24
一、实验目的 （1）学习RSA基本算法 （2）学习指数求模运算 （3）学习逆元的求法
二、实验原理 生成两个大素数 p 和 q； 计算这两个素数的乘积 n= p * q； 计算小于n并且与n互质的整数的个数，即欧拉函数     φ(n) = (p - 1) * (q - 1)； 随机选择一个加密密钥e，使e满足1< e < φ(n)，并且e和φ(n)互质； 利用欧几里德扩展算法计算e的逆元d，以满足：         e * d ≡ 1 mod φ(n) 公钥PK={e, n}；对应的私钥SK={d} 加密运算：C=Me mod n（如何防止溢出） 解密运算M=Cd mod n （如何防止溢出）
三、实验环境 操作系统：windows 运行环境：VC6.0或DEV C++
四、实验步骤 （1）具体实现 #include <iostream> #include <vector> #include <ctime> #include <cstdlib> using namespace std; // 模幂运算，防止溢出 long long modularExponentiation(long long base, long long exponent, long long modulus) {     long long result = 1;     base %= modulus;     while (exponent > 0) {         if (exponent % 2 == 1)             result = (result * base) % modulus;         exponent >>= 1;         base = (base * base) % modulus;     }     return result; } // 判断素数 bool isPrime(long long num) {     if (num < 2) return false;     if (num == 2 || num == 3) return true;     if (num % 2 == 0 || num % 3 == 0) return false;     long long i = 5;     while (i * i <= num) {         if (num % i == 0 || num % (i + 2) == 0) return false;         i += 6;     }     return true; } // Miller-Rabin 素性测试 bool isPrimeMillerRabin(long long n, int iterations = 5) {     if (n < 2) return false;     if (n == 2 || n == 3) return true;     if (n % 2 == 0) return false;     long long d = n - 1;     int s = 0;     while (d % 2 == 0) {         d /= 2;         s++;     }     for (int i = 0; i < iterations; i++) {         long long a = rand() % (n - 3) + 2;         long long x = modularExponentiation(a, d, n);         if (x == 1 || x == n - 1) continue;         bool found = false;         for (int r = 1; r < s; r++) {             x = (x * x) % n;             if (x == n - 1) {                 found = true;                 break;             }         }         if (!found) return false;     }     return true; } // 生成大素数 long long generatePrime() {     long long prime;     while (true) {// 增加生成的随机数范围，以获得更大的素数     prime = rand() % 10000 + 10000;     if (isPrime(prime)) {         break;     } }     return prime; } // 计算两个数的最大公约数 long long gcd(long long a, long long b) {     while (b!= 0) {         long long temp = b;         b = a % b;         a = temp;     }     return a; } // 扩展欧几里得算法 long long extendedEuclidean(long long a, long long b, long long& x, long long& y) {     if (b == 0) {         x = 1;         y = 0;         return a;     }     long long x1, y1;     long long gcd = extendedEuclidean(b, a % b, x1, y1);     x = y1;     y = x1 - (a / b) * y1;     return gcd; } // 计算模逆元 long long modInverse(long long a, long long m) {     long long x, y;     long long g = extendedEuclidean(a, m, x, y);     if (g!= 1) return -1;     return (x % m + m) % m; } int main() {     long long p, q, n, ol, e, d;     p = generatePrime();     q = generatePrime();     n = p * q;     ol = (p - 1) * (q - 1);     while (gcd(e, ol)!= 1){      e = rand() % ol;     }     d = modInverse(e, ol);     long long message = 123;     long long ciphertext = modularExponentiation(message, e, n);     long long decryptedMessage = modularExponentiation(ciphertext, d, n);     cout << "p：" << p << endl;     cout << "q：" << q << endl;     cout << "n：" << n << endl;     cout << "欧拉：" << ol << endl;     cout << "加密密匙：" << e << endl;     cout << "逆元：" << d << endl;     cout << "原始消息：" << message << endl;     cout << "加密后的消息：" << ciphertext << endl;     cout << "解密后的消息（字符形式）：" << decryptedMessage << endl;     return 0; }
五、实验结论 【密码学基础】RSA加密算法（图片来自于这一篇文章） 1、了解了一点防溢出（大整数类型和合适的分解计算） 之前也遇到过类似的（好像是二分查找），就是 (l+r)/2  (r+l)>>1，需要写成 (r-l)/2+l  ((r-l)>>1)+l，从数学的角度上来看，这两种写法是一样的，但是第一种是有可能造成溢出的（l+r） 比如说这里的加密：就可以分解成这样： 85×85 = 7225，7225mod143 = 74 74×85 = 6290，6290mod143 = 49 49×85 = 4165，4165mod143 = 104 104×85 = 8840，8840mod143 = 109 109×85 = 9265，9265mod143 = 123 又回忆起了被c++支配的恐惧（写不习惯） 比如函数要在main函数之前才能调用，但是java习惯性的直接调。 Miller-Rabin 素性测试 在判断大素数时，可以用Miller-Rabin 素性测试，提高效率（应该跟剪枝差不多）。
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