课程报告：RSA算法

参考链接

目录

基本概念

原理

数论中的四个概念

1.互质关系：

2.欧拉函数：

3.欧拉定理：

4.模反元素：

RSA

RSA密钥生成过程：

RSA加解密：

RSA公式论证：因篇幅原因略。

应用

---

• 基本概念

RSA加密算法是一种非对称加密算法。在公开密钥加密和电子商业中RSA被广泛使用。RSA是1977年由罗纳德·李维斯特（Ron Rivest）、阿迪·萨莫尔（Adi Shamir）和伦纳德·阿德曼（Leonard Adleman）一起提出的。当时他们三人都在麻省理工学院工作。RSA就是他们三人姓氏开头字母拼在一起组成的。——维基百科

• 原理

• 数论中的四个概念

1.互质关系：

如果两个正整数，除了1以外没有其他公因子，我们就称这两个数是互质关系（coprime）。比如，6和21他们的公因子有：3和1，所以6和21就不是互质；而10和21只有一个公因子1，所以它们是互质关系。这说明，不是质数也可以构成互质关系。

有以下几点可构成互质关系：

1. 任意两个质数构成互质关系；
2. 1和任意一个自然数是都是互质关系；
3. p是大于1的整数，则p和p-1构成互质关系；
4. p是大于1的奇数，则p和p-2构成互质关系；
5. 如果两个数之中，较大的那个数是质数，则两者构成互质关系；
6. 一个数是质数，另一个数只要不是前者的倍数，两者就构成互质关系；

2.欧拉函数：

任意给定正整数n，请问在小于等于n的正整数之中，有多少个与n构成互质关系？计算这个值的方法就叫做欧拉函数，以φ(n)表示。

1. 如果n=1，则 φ(1) = 1。因为1与任何数（包括自身）都构成互质关系
2. 如果n是质数，则 φ(n)=n-1 。因为质数与小于它的每一个数，都构成互质关系。比如5与1、2、3、4都构成互质关系。
3. 如果n是质数的某一个次方，即 n = pk (p为质数，k为大于等于1的整数)，则φ(pk)=pk-pk-1。

因为只有当一个数不包含质数p，才可能与n互质。而包含质数p的数一共有pk-1个，即1×p、2×p、3×p、…、p^(k-1)×p，把它们去除，剩下的就是与n互质的数。

上面的式子还可以写成下面的形式：

φ(pk)=pk-pk-1=pk(1-1p)

可以看出，此种情况是k=1时的特例。

1. 如果n可以分解成两个互质的整数之积，n = p1 × p2，则φ(n) = φ(p1p2) = φ(p1)φ(p2)。即：积的欧拉函数等于各个因子的欧拉函数之积。
2. 因为任意一个大于1的正整数，都可以写成一系列质数的积，n=pk11pk22…pkrr，根据第4条的结论，得到：φ(n)=φ(pk11) φ(pk22)…φ(pkrr)，再根据第3条的结论，得到：φ(n)= pk11pk22…pkrr(1-1p1) (1-1p2)…(1-1pr)，也就等于

φ(n)= n(1-1p1) (1-1p2)…(1-1pr) 

这就是欧拉函数的通用计算公式。

3.欧拉定理：

    “欧拉定理”指的是：如果两个正整数a和n互质，则n的欧拉函数φ(n)可以让下面的等式成立：

    aφ(n)≡1(mod n)

也就是说，a的φ(n)次方被n除的余数为1。

          取模运算与取余运算的区别：取余的商是靠近0的，而取模的

商是靠近负无穷的。

欧拉定理是RSA算法的核心。

4.模反元素：

如果两个正整数a和n互质，那么一定可以找到整数b，使得 ab-1 被n整除，或者说ab被n除的余数是1

ab≡1(mod n)

这时，b就叫做a的“模反元素”。

如果b是a的模反元素，则b+kn都是a的模反元素。

欧拉定理可以用来证明模反元素必然存在。

aφ(n)=a×aφ(n)-1≡1(mod n)

可以看到，a的φ(n)-1次方，就是a的模反元素。

• RSA

RSA密钥生成过程：

六步生成密钥：

1. 随机选择两个不相等的质数p和q；
2. 计算p和q的乘积n；

n的长度就是密钥长度。实际应用中，RSA密钥一般是二进制1024位，重要场合则为二进制2048位。

1. 计算n的欧拉函数φ(n)；
2. 随机选择一个整数e，条件是1< e < φ(n)，且e与φ(n) 互质；
3. 计算e对于φ(n)的模反元素d；
4. 将n和e封装成公钥，n和d封装成私钥。

RSA算法一共生成了六个数字：p、q、n、φ(n)、e、d。这六个数字之中，公钥用到了两个（n和e），其余四个不公开。其中最关键的是d，因为n和d组成了私钥，一旦d泄漏，就等于私钥泄漏。

 ed≡1 (mod φ(n))。只有知道e和φ(n)，才能算出d

 φ(n)=(p-1)(q-1)。只有知道p和q，才能算出φ(n)

  n=pq。只有将n因数分解，才能算出p和q

因此，如果n可以被因数分解，d就可求，即私钥被破解。

RSA加解密：

1. 加密：明文m，me≡c(mod n)，得到密文c；
2. 解密：密文c，cd≡m(mod n)，解密出明文m。

RSA公式论证：因篇幅原因略。

• 应用

IOS App签名；

HTTPS 加密连接；

利用OpenSSL库对Socket传输进行安全加密(RSA+AES)。