文章介绍了如何使用定积分来计算曲线y=r^2-x^2绕x轴旋转形成的球体体积，以及由y=e^x和y=lnx以及x=1和x=e限定的区域绕x轴旋转得到的旋转体体积。解题过程中应用了积分法，并给出了详细的计算步骤和最终结果。
前置知识：定积分求旋转体的体积
习题1
求曲线 y = r 2 − x 2 ( x ∈ [ − r , r ] ) y=\sqrt{r^2-x^2}(x\in[-r,r]) y=r2−x2(x∈[−r,r])绕 x x x轴旋转得到的旋转体的体积。
解：
V
=
π
∫
−
r
r
(
r
2
−
x
2
)
d
x
=
π
×
(
r
2
x
−
1
3
x
3
)
∣
−
r
r
=
3
4
π
r
3
\qquad V=\pi\int_{-r}^r(r^2-x^2)dx=\pi\times (r^2x-\dfrac 13x^3)\bigg\vert_{-r}^r=\dfrac 34\pi r^3
V=π∫−rr(r2−x2)dx=π×(r2x−31x3)
−rr=43πr3
这就是球的体积公式。
习题2
计算 y = e x y=e^x y=ex， y = ln x y=\ln x y=lnx， x = 1 x=1 x=1和 x = e x=e x=e围成的图形绕 x x x轴旋转得到的旋转体的体积。
解：
V
1
=
π
∫
1
e
(
ln
x
)
2
d
x
=
π
×
[
x
(
ln
x
)
2
−
2
x
ln
x
+
2
x
]
∣
1
e
=
π
e
−
2
π
\qquad V_1=\pi\int_1^e(\ln x)^2dx=\pi\times [x(\ln x)^2-2x\ln x+2x]\bigg\vert_1^e=\pi e-2\pi
V1=π∫1e(lnx)2dx=π×[x(lnx)2−2xlnx+2x]
1e=πe−2π
V 2 = π ∫ 1 e e 2 x d x = π × ( 1 2 e 2 x ) ∣ 1 e = π 2 e 2 e − π 2 e 2 \qquad V_2=\pi\int_1^ee^{2x}dx=\pi\times (\dfrac 12e^{2x})\bigg\vert_1^e=\dfrac{\pi}{2}e^{2e}-\dfrac{\pi}{2}e^2 V2=π∫1ee2xdx=π×(21e2x) 1e=2πe2e−2πe2
V = V 2 − V 1 = π 2 e 2 e − π 2 e 2 − π e − 2 π \qquad V=V_2-V_1=\dfrac{\pi}{2}e^{2e}-\dfrac{\pi}{2}e^2-\pi e-2\pi V=V2−V1=2πe2e−2πe2−πe−2π
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