ARC163C Harmonic Mean

ARC163C Harmonic Mean

题目大意

给你一个正整数$n$，求是否有存在长度为$n$的序列$A$，满足

• $\sum _{i=1}^n\frac{1}{A_i}=1$
• $A_i$互不相同
• $1\le A_i\le 10^9$

如果有，就输出$Yes$，并输出序列$A$；如果没有，就输出$No$。

有$t$组数据。

$1\le t\le 500,1\le n\le 500$

题解

首先，我们知道$\frac{1}{a}-\frac{1}{a+1}=\frac{1}{a(a+1)}$，那么

$$1=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\cdots -\frac{1}{n}+\frac{1}{n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\cdots +\frac{1}{(n-1)\cdot n}+\frac{1}{n}$$

因为$1\le n\le 500$，所以$1\le n(n-1)\le 250000$，满足第三个条件，这样就可以得到一个$A$序列。

但如果存在$1\le i<n$，使得$i\cdot (i+1)=n$，这样的话就会有重复。那我们应该怎么处理？是将$\frac{1}{n}$再裂项一次？那序列$A$的长度就大于$n$了。是将$\frac{1}{i\cdot (i+1)}$和$\frac{1}{n}$求和再裂项一次？这还是会有重复。

那该怎么办呢？我们可以先用$\frac{1}{4}$来裂项。

$$\frac{1}{4}=\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\cdots -\frac{1}{n}+\frac{1}{n}=\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\cdots +\frac{1}{(n-1)\cdot n}+\frac{1}{n}$$

已经有了$n-3$项，和为$\frac{1}{4}$，还需要加上$\frac{3}{4}$。

我们需要将$\frac{3}{4}$分为若干个正整数的倒数的和，$\frac{3}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}$，那么

• 如果存在$1\le i<n$，使得$i\cdot (i+1)=n$，则将$\frac{1}{n}$再裂项一次，并加上$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$两项
• 如果不存在$1\le i<n$，使得$i\cdot (i+1)=n$，则加上$\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}$三项

这样便保证了序列的长度为$n$。

当$n\le 6$时，用$if$判断$n$的值并直接输出；当$n>6$时，用上面的方法来求解。这样能保证没有重复。当然，此时最大的$A_i$是远远小于$10^9$的。

时间复杂度为$O(\sum n)$。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int t,n,fl,ans[100005];
int main()
{
	scanf("%d",&t);
	while(t--){
		scanf("%d",&n);
		if(n==1){
			printf("Yes\n1\n");continue;
		}
		if(n==2){
			printf("No\n");continue;
		}
		if(n==3){
			printf("Yes\n2 3 6\n");continue;
		}
		if(n==4){
			printf("Yes\n2 4 5 20\n");continue;
		}
		if(n==5){
			printf("Yes\n3 4 5 6 20\n");continue;
		}
		if(n==6){
			printf("Yes\n2 4 7 20 30 42\n");continue;
		}
		ans[0]=0;
		fl=0;
		for(int i=4;i<=n-1;i++){
			ans[++ans[0]]=i*(i+1);
			if(i*(i+1)==n) fl=1;
		}
		if(!fl){
			ans[++ans[0]]=3;
			ans[++ans[0]]=4;
			ans[++ans[0]]=6;
			ans[++ans[0]]=n;
		}
		else{
			ans[++ans[0]]=2;
			ans[++ans[0]]=4;
			ans[++ans[0]]=n*(n+1);
			ans[++ans[0]]=n+1;
		}
		printf("Yes\n");
		for(int i=1;i<=n;i++){
			printf("%d ",ans[i]);
		}
		printf("\n");
	}
}