前置知识：定积分的计算（分段积分）
习题1
计算 ∫ 1 e e ∣ ln x ∣ d x \int_{\frac 1e}^e|\ln x|dx ∫e1e∣lnx∣dx
解：
\qquad
原式
=
∫
1
e
1
−
ln
x
d
x
+
∫
1
e
ln
x
d
x
=
−
ln
x
∣
1
e
1
+
ln
x
∣
1
e
=
1
+
1
=
2
=\int_{\frac 1e}^1-\ln xdx+\int_1^e\ln xdx=-\ln x\bigg\vert_{\frac 1e}^1+\ln x\bigg\vert_1^e=1+1=2
=∫e11−lnxdx+∫1elnxdx=−lnx
e11+lnx
1e=1+1=2
习题2
已知 f ( x ) = { 1 1 + x 2 , x ≥ 0 x e x 2 , x < 0 f(x)=\begin{cases} \dfrac{1}{1+x^2},\quad x\geq 0\\ \qquad \\ xe^{x^2},\quad x<0 \end{cases} f(x)=⎩ ⎨ ⎧1+x21,x≥0xex2,x<0，计算 ∫ − 1 1 f ( x ) d x \int_{-1}^1f(x)dx ∫−11f(x)dx
解：
\qquad
原式
=
∫
−
1
0
x
e
x
2
d
x
+
∫
0
1
1
1
+
x
2
d
x
=\int_{-1}^0xe^{x^2}dx+\int_0^1\dfrac{1}{1+x^2}dx
=∫−10xex2dx+∫011+x21dx
= 1 2 e x 2 ∣ − 1 0 + arctan x ∣ 0 1 = 1 2 − e 2 + π 4 \qquad\qquad =\dfrac 12e^{x^2}\bigg\vert_{-1}^0+\arctan x\bigg\vert_0^1=\dfrac 12-\dfrac{e}{2}+\dfrac{\pi}{4} =21ex2 −10+arctanx 01=21−2e+4π
习题3
已知 f ( x ) = { 1 + x 2 , x ≤ 0 e − x , x > 0 f(x)=\begin{cases} 1+x^2,\quad x\leq 0\\ e^{-x},\quad x>0 \end{cases} f(x)={1+x2,x≤0e−x,x>0，计算 ∫ 1 3 f ( x − 2 ) d x \int_1^3f(x-2)dx ∫13f(x−2)dx
解：
\qquad
原式
=
∫
1
2
[
1
+
(
x
−
2
)
2
]
d
x
+
∫
2
3
e
2
−
x
d
x
=
∫
1
2
(
x
2
−
4
x
+
5
)
d
x
+
∫
2
3
e
2
−
x
d
x
=\int_1^2[1+(x-2)^2]dx+\int_2^3e^{2-x}dx=\int_1^2(x^2-4x+5)dx+\int_2^3e^{2-x}dx
=∫12[1+(x−2)2]dx+∫23e2−xdx=∫12(x2−4x+5)dx+∫23e2−xdx
= ( 1 3 x 3 − 2 x 2 + 5 x ) ∣ 1 2 − e 2 − x ∣ 2 3 = 14 3 − 10 3 − 1 e + 1 = 7 3 − 1 e \qquad\qquad =(\dfrac 13x^3-2x^2+5x)\bigg\vert_1^2-e^{2-x}\bigg\vert_2^3=\dfrac{14}{3}-\dfrac{10}{3}-\dfrac 1e+1=\dfrac 73-\dfrac1e =(31x3−2x2+5x) 12−e2−x 23=314−310−e1+1=37−e1
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