不定积分练习
在看视频的时候遇到了一道比较有趣的题，在这里给大家分享一下。
题目
计算 ∫ ( 1 + x − 1 x ) e x + 1 x d x \int(1+x-\dfrac 1x)e^{x+\frac 1x}dx ∫(1+x−x1)ex+x1dx
解：
\qquad
原式
=
∫
e
x
+
1
x
d
x
+
∫
x
(
1
−
1
x
2
)
e
x
+
1
x
d
x
=\int e^{x+\frac 1x}dx+\int x(1-\dfrac{1}{x^2})e^{x+\frac 1x}dx
=∫ex+x1dx+∫x(1−x21)ex+x1dx
= ∫ e x + 1 x d x + ∫ x d ( e x + 1 x ) \qquad\qquad =\int e^{x+\frac 1x}dx+\int xd(e^{x+\frac 1x}) =∫ex+x1dx+∫xd(ex+x1)
= ∫ e x + 1 x d x + x e x + 1 x − ∫ e x + 1 x d x \qquad\qquad =\int e^{x+\frac 1x}dx+xe^{x+\frac 1x}-\int e^{x+\frac 1x}dx =∫ex+x1dx+xex+x1−∫ex+x1dx
= x e x + 1 x \qquad\qquad =xe^{x+\frac 1x} =xex+x1
这道题考查了分部积分法，先将式子分成两部分，再将 ∫ x ( 1 − 1 x 2 ) e x + 1 x d x \int x(1-\dfrac{1}{x^2})e^{x+\frac 1x}dx ∫x(1−x21)ex+x1dx看作 u ( x ) = x , v ( x ) = e x + 1 x u(x)=x,v(x)=e^{x+\frac 1x} u(x)=x,v(x)=ex+x1来进行分部积分，最后将相同的；两部分抵消掉即可得出答案。
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