正弦定理和余弦定理

正弦定理

对于$\Delta ABC$，有

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$

证明：
\qquad作三角形$\Delta ABC$的外接圆，连接$BO$并延长交圆$O$于点$D$，连$CD$

\qquad设外接圆的半径为$R$

\qquad若$\angle A$为锐角，则$a=BD\sin \angle BDC=2R\sin A$

\qquad所以$\frac{a}{\sin A}=2R$

\qquad若$\angle A$为直角，则$a=2R$，$\sin A=1$

\qquad所以$\frac{a}{\sin A}=2R$

\qquad若$\angle A$为钝角，$a=BD\sin \angle BDC=2R\sin (180^{\circ }-\angle A)=2R\sin A$

\qquad所以$\frac{a}{\sin A}=2R$

\qquad同理可得$\frac{b}{\sin B}=2R$，$\frac{c}{\sin C}=2R$

\qquad综上所述，$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$

余弦定理

对于$\Delta ABC$，有

$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$
$b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$
$c^2=a^2+b^2-2bc\cos C$

另一种表示方法为

$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$

$\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$

$\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

证明：
\qquad过$B$作$BD\perp AC$交$AC$于点$D$

\qquad若$\angle A$为锐角，根据勾股定理，$a^2=d^2+(b-AD{)}^2$

\qquad所以$a^2=d^2+(b-AD{)}^2=c^2-A{D}^2+b^2-2b\cdot AD+A{D}^2=b^2+c^2-2bc\cos \angle BAC$

\qquad若$\angle A$为直角，根据勾股定理，$a^2=b^2+c^2$，$\cos A=0$

\qquad所以$a^2=b^2+c^2=b^2+c^2-2bc\cos \angle BAC$

\qquad若$\angle A$为钝角，根据勾股定理，$a^2=C{D}^2+d^2$

\qquad所以$a^2=(AD+b{)}^2+d^2=A{D}^2+2bAD+b^2+c^2-A{D}^2=b^2+c^2-2bc\cos \angle BAC$

\qquad同理可得$b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$，$c^2=a^2+b^2-2bc\cos C$