文章展示了如何使用第二类换元法（也称代换法）来解决一个涉及根号内含有指数函数的积分问题。通过恰当的变量替换，将原积分转换为对数函数的积分形式，最终得到解答并整理成标准形式。
前置知识：第二类换元法
计算： ∫ 1 1 + e x d x \int \dfrac{1}{\sqrt{1+e^x}}dx ∫1+ex1dx
解：
\qquad
令
t
=
1
+
e
x
t=\sqrt{1+e^x}
t=1+ex，
x
=
ln
(
t
2
−
1
)
x=\ln(t^2-1)
x=ln(t2−1)，
d
x
=
2
t
t
2
−
1
d
t
dx=\dfrac{2t}{t^2-1}dt
dx=t2−12tdt
\qquad 原式 = ∫ 1 t ⋅ 2 t t 2 − 1 d t = ∫ 2 t 2 − 1 d t =\int\dfrac 1t\cdot \dfrac{2t}{t^2-1}dt=\int \dfrac{2}{t^2-1}dt =∫t1⋅t2−12tdt=∫t2−12dt
= ∫ ( 1 t − 1 − 1 t + 1 ) d t = ln ( t − 1 ) − ln ( t + 1 ) + C \qquad\qquad =\int (\dfrac{1}{t-1}-\dfrac{1}{t+1})dt=\ln(t-1)-\ln(t+1)+C =∫(t−11−t+11)dt=ln(t−1)−ln(t+1)+C
= ln ( t − 1 t + 1 ) + C = ln ( 1 + e x − 1 1 + e x + 1 ) + C \qquad\qquad=\ln(\dfrac{t-1}{t+1})+C=\ln(\dfrac{\sqrt{1+e^x}-1}{\sqrt{1+e^x}+1})+C =ln(t+1t−1)+C=ln(1+ex+11+ex−1)+C
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