直接积分法

前置知识：不定积分原理

不定积分表

不定积分和求导互为逆运算。
$$\frac{d}{dx}(\int f(x)dx)=f(x),\int f^{\prime }(x)dx=f(x)+C$$

所以可以通过求导公式可得函数的不定积分表。

不定积分表

$\int kdx=kx+C$

$\int x^{a}dx=\frac{x^{a+1}}{a+1}+C(a\ne -1)$

$\int \frac{dx}{x}=\ln |x|+C$

$\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+C$

$\int e^{x}dx=e^x+C$

$\int \sin xdx=-\cos x$

$\int \cos xdx=\sin x$

$\int \tan xdx=-\ln |\cos x|+C$

$\int \cot xdx=\ln |\sin x|+C$

$\int \sec xdx=\ln |\sec x+\tan x|+C$

$\int \csc xdx=\ln |\csc x-\cot x|+C$

$\int {\sec }^{2}xdx=\tan x+C$

$\int {\csc }^{2}xdx=-\cot x+C$

$\int \sec x\tan xdx=\sec x+C$

$\int \csc x\cot xdx=-\csc x+C$

$\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsin x+C$

$\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=\arcsin \frac{x}{a}+C(a>0)$

$\int \frac{dx}{1+x^2}=\arctan x+C$

$\int \frac{dx}{a^2+x^2}=\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}+C$

$\int \frac{dx}{x^2-a^2}=\frac{1}{2a}\ln |\frac{x-a}{x+a}|+C$

$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}=\ln |x+\sqrt{x^2+a^2}|+C$

$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}}=\ln |x+\sqrt{x^2-a^2}|+C$

$\int \sqrt{a^2-x^2}dx=\frac{a^2}{2}\arcsin \frac{x}{a}+\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+C$

例题

题1： 计算$\int \sqrt{x}(x^2-5)dx$

解：原式$=\int (x^{\frac{5}{2}}-5x^{\frac{1}{2}})dx=\frac{2}{7}{x}^{\frac{7}{2}}-\frac{10}{3}{x}^{\frac{3}{2}}+C$

题2： 计算$\int \frac{1}{1+x^2}dx$

解：原式$=\int (1-\frac{1}{1+x^2})dx=x-\arctan x+C$

题3： 计算$\int e^x{3}^{x}dx$

解：原式$=\int (3e{)}^{x}dx=\frac{(3e{)}^x}{\ln 3e}+C$

总结

掌握并灵活使用上述公式，能够解决许多不定积分的计算题。