导数的定义和介绍

导数定义

设$y=f(x)$在$x_0$的某个邻域内有定义，自变量增量为$\Delta x$，因变量增量为$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$，若$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$极限存在，则说明$y=f(x)$在$x_0$处可导。

定义公式：$f^{\prime }(x_0)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$或$f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

左导数：$f_{-}^{\prime }(x_0)=\underset{\Delta x\to 0^{-}}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$

右导数：$f_{+}^{\prime }(x_0)=\underset{\Delta x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$

导数存在的充要条件：$f_{-}^{\prime }(x_0)=f_{+}^{\prime }(x_0)$

例题1

$y=|x|$在$x=0$处是否可导？

解：
$f^{\prime }(0)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(0+\Delta x)-f(0)}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{|\Delta x|}{\Delta x}$

$f_{-}^{\prime }(0)=\underset{\Delta x\to 0^{+}}{\lim }\frac{-\Delta x}{\Delta x}=-1$，$f_{+}^{\prime }(0)=\underset{\Delta x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\Delta x}{\Delta x}=1$

$f_{-}^{\prime }(0)\ne f_{+}^{\prime }(0)$，所以$y=|x|$在$x=0$处不可导

例题2

已知$f^{\prime }(x_0)=1$，则$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{h}=\underline{}$

解：原式$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}+\frac{f(x_0)-f(x_0-h)}{h}=f^{\prime }(x_0)+f^{\prime }(x_0)=2$

总结

• 求导的充要条件：左导数$=$右导数
• 可导则一定连续，连续不一定可导