罗尔中值定理习题

微分中值定理之罗尔中值定理

例1

函数$f(x)$在$[0,1]$上连续，在$(0,1)$内可导，$f(0)=e,f(1)=1$，
求证：$\exists \xi \in (0,1)$使得$f(\xi )+f^{\prime }(\xi )=0$。

解：
\qquad 令$F(x)=e^{x}f(x)$

$F(0)=e^{0}f(0)=e,F(1)=e^{1}f(1)=e$

$\because F(x)$在$[0,1]$上连续，在$(0,1)$内可导，$F(0)=F(1)=e$

$\therefore$由罗尔定理，$\exists \xi \in (0,1)$，使$F^{\prime }(\xi )=0$

\qquad 即$e^{\xi }f(\xi )+e^{\xi }{f}^{\prime }(\xi )=0$

$\because$当$\xi \in (0,1)$时，$e^{\xi }>0$

$\therefore f(\xi )+f^{\prime }(\xi )=0$

\qquad 得证$\exists \xi \in (0,1)$使得$f(\xi )+f^{\prime }(\xi )=0$

例2

函数$f(x)$在$[0,1]$上连续，在$(0,1)$内可导，$f(1)=0$，
求证：$\exists \xi \in (0,1)$使得$2f(\xi )+\xi f^{\prime }(\xi )=0$。

解：
\qquad 令$F(x)=x^{2}f(x)$

$F(0)=0\times f(0)=0,F(1)=1\times f(1)=0$

$\because F(x)$在$[0,1]$上连续，在$(0,1)$内可导，$F(0)=F(1)=0$

$\therefore$由罗尔定理，$\exists \xi \in (0,1)$，使$F^{\prime }(\xi )=0$

\qquad 即$2\xi f(\xi )+{\xi }^2{f}^{\prime }(\xi )=0$

$\because$当$\xi \in (0,1)$时，$\xi >0$

$\therefore 2f(\xi )+\xi f^{\prime }(\xi )=0$

\qquad 得证$\exists \xi \in (0,1)$使得$2f(\xi )+\xi f^{\prime }(\xi )=0$

总结

当题目给出$f(x)$的若干个值$f(x_1),f(x_2)\dots$，并求证一个由$\xi ,f(\xi ),f^{\prime }(\xi )$组成的式子为零时，我们可以考虑构造一个函数$F(x)$，根据罗尔定理得出$\exists \xi \in (a,b)$使得$F^{\prime }(\xi )=0$，然后整理一下式子即可得证。