高阶导数
设y=f(x)y=f(x)y=f(x),则y′=dydxy'=\dfrac{dy}{dx}y′=dxdy,y′′=d2ydx2y''=\dfrac{d^2y}{dx^2}y′′=dx2d2y
公式
[u±v](n)=u(n)±v(n)[u\pm v]^{(n)}=u^{(n)}\pm v^{(n)}[u±v](n)=u(n)±v(n)
莱布尼茨公式:(uv)(n)=∑k=0nCnku(n−k)v(k)(uv)^{(n)}=\sum\limits_{k=0}^n C_n^ku^{(n-k)}v^{(k)}(uv)(n)=k=0∑nCnku(n−k)v(k)
注:f(n)(x)f^{(n)}(x)f(n)(x)表示对f(x)f(x)f(x)求导nnn次
例题
例1
设y=sinxy=\sin xy=sinx,则y(2017)=‾y^{(2017)}=\underline{\qquad}y(2017)=
解:
y′=cosxy'=\cos xy′=cosx
y′′=−sinxy''=-\sin xy′′=−sinx
y′′′=−cosxy'''=-\cos xy′′′=−cosx
y(4)=sinxy^{(4)}=\sin xy(4)=sinx
y(5)=cosxy^{(5)}=\cos xy(5)=cosx
∵2017÷4=504⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 1\because 2017\div4=504\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot \ 1∵2017÷4=504⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 1
∴y(2017)=cosx\therefore y^{(2017)}=\cos x∴y(2017)=cosx
例2
设y=xlnxy=x\ln xy=xlnx,求y(10)y^{(10)}y(10)
解:
y′=lnx+1,y′′=1x,y′′′=−1x2,y(4)=21x3,y(5)=−2×31x4y'=\ln x+1,y''=\dfrac 1x,y'''=-\dfrac {1}{x^2},y^{(4)}=2\dfrac{1}{x^3},y^{(5)}=-2\times3\dfrac{1}{x^4}y′=lnx+1,y′′=x1,y′′′=−x21,y(4)=2x31,y(5)=−2×3x41
一般地:n>2n>2n>2时,y(n)=(−1)n(n−2)!1xn−1y^{(n)}=(-1)^n(n-2)!\dfrac{1}{x^{n-1}}y(n)=(−1)n(n−2)!xn−11
所以y(10)=8!⋅1x9=8!x9y^{(10)}=8!\cdot\dfrac{1}{x^9}=\dfrac{8!}{x^9}y(10)=8!⋅x91=x98!
例3
f(x)=x2exf(x)=x^2e^xf(x)=x2ex,则f(4)(0)=‾f^{(4)}(0)=\underline{\qquad}f(4)(0)=
解:
(x2ex)(4)(x^2e^x)^{(4)}(x2ex)(4)
=C40(x2)(4)ex+C41(x2)(3)ex+C42(x2)′′ex+C43(x2)′ex+C44x2ex=C_4^0(x^2)^{(4)}e^x+C_4^1(x^2)^{(3)}e^x+C_4^2(x^2)''e^x+C_4^3(x^2)'e^x+C_4^4x^2e^x=C40(x2)(4)ex+C41(x2)(3)ex+C42(x2)′′ex+C43(x2)′ex+C44x2ex
=1×0×ex+4×0×ex+6×2×ex+4×2x⋅ex+1×x2ex=1\times 0\times e^x+4\times 0\times e^x+6\times 2\times e^x+4\times 2x\cdot e^x+1\times x^2e^x=1×0×ex+4×0×ex+6×2×ex+4×2x⋅ex+1×x2ex
=12ex+8xex+x2ex=12e^x+8xe^x+x^2e^x=12ex+8xex+x2ex
所以f(4)(0)=12f^{(4)}(0)=12f(4)(0)=12
总结
在求高阶导数时,如果求导次数较大,则寻找普遍规律;如果求导次数较小,则用莱布尼茨公式