高阶导数简介

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博客围绕高阶导数展开，介绍了高阶导数的公式，如[u±v](n)=u(n)±v(n)和莱布尼茨公式。通过三个例题展示了不同函数高阶导数的求解方法，最后总结出求高阶导数时，次数大找普遍规律，次数小用莱布尼茨公式。

高阶导数

设 $y = f (x)$ ，则 $y′=dydxy'=\dfrac{dy}{dx}$ ， $y′′=d2ydx2y''=\dfrac{d^2y}{dx^2}$

公式

$[u±v](n)=u(n)±v(n)[u\pm v]^{(n)}=u^{(n)}\pm v^{(n)}$
莱布尼茨公式： $(uv)(n)=∑k=0nCnku(n−k)v(k)(uv)^{(n)}=\sum\limits_{k=0}^n C_n^ku^{(n-k)}v^{(k)}$

注： $f^{(n)}(x)$ 表示对 $f (x)$ 求导 $n$ 次

例题

例1

设 $y=sin⁡xy=\sin x$ ，则 $y(2017)=‾y^{(2017)}=\underline{\qquad}$

解：
$y′=cos⁡xy'=\cos x$
$y′′=−sin⁡xy''=-\sin x$
$y′′′=−cos⁡xy'''=-\cos x$
$y^{(4)}=\sin x$
$y^{(5)}=\cos x$
$1\because 2017\div4=504\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot \ 1$
$∴y(2017)=cos⁡x\therefore y^{(2017)}=\cos x$

例2

设 $y=xln⁡xy=x\ln x$ ，求 $y^{(10)}$

解：
$y′=ln⁡x+1,y′′=1x,y′′′=−1x2,y(4)=21x3,y(5)=−2×31x4y'=\ln x+1,y''=\dfrac 1x,y'''=-\dfrac {1}{x^2},y^{(4)}=2\dfrac{1}{x^3},y^{(5)}=-2\times3\dfrac{1}{x^4}$
一般地： $n > 2$ 时， $y(n)=(−1)n(n−2)!1xn−1y^{(n)}=(-1)^n(n-2)!\dfrac{1}{x^{n-1}}$
所以 $y(10)=8!⋅1x9=8!x9y^{(10)}=8!\cdot\dfrac{1}{x^9}=\dfrac{8!}{x^9}$

例3

$f(x)=x^2e^x$ ，则 $f(4)(0)=‾f^{(4)}(0)=\underline{\qquad}$

解：
$x^2e^x)^{(4)}$
$C_4^0(x^2)^{(4)}e^x+C_4^1(x^2)^{(3)}e^x+C_4^2(x^2)''e^x+C_4^3(x^2)'e^x+C_4^4x^2e^x$
$=1×0×ex+4×0×ex+6×2×ex+4×2x⋅ex+1×x2ex=1\times 0\times e^x+4\times 0\times e^x+6\times 2\times e^x+4\times 2x\cdot e^x+1\times x^2e^x$
$12e^x+8xe^x+x^2e^x$
所以 $f^{(4)}(0)=12$