向量运算与凸包算法-优快云博客

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本文介绍向量的基本概念及运算，包括加法、减法、点积和叉积等，并探讨其几何意义。此外，还介绍了平面凸包的概念及其求解方法——Graham扫描法，通过实例代码展示了如何实现。

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向量

既有大小，又有方向的量，如速度
表示方法：字母上加箭头 $\overrightarrow{a}$
向量的大小：表示为 $|\overrightarrow{ \ a \ }|$ 或 $|\overrightarrow{ \ AB \ }|$
在平面直角坐标系中，将向量 $\overrightarrow{a}$ 平移，使起点与原点重合，终点位于点 $(x, y)$ ，则实数对 $(x, y)$ 为向量 $\overrightarrow{ \ a \ }$ 的坐标，记为 $\overrightarrow{ \ a \ }=(x,y)$
加法： $\overrightarrow{ \ A \ }+\overrightarrow{ \ B \ }=(x_1+x_2,y_1+y_2)$
减法： $\overrightarrow{ \ A \ }-\overrightarrow{ \ B \ }=(x_1-x_2,y_1-y_2)$
向量加减法满足交换律和结合律
若 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$ ，则 $\overrightarrow{AB}=B-A$

点积

点积就是 $a⋅b=x_1x_2+y_1y_2$
几何意义：两个向量的夹角
点积的性质：

$a \cdot b = 0$ ，则 $a\bot b$
$a \cdot b < 0$ ，则夹角 $>90^\circ$
$a \cdot b > 0$ ，则夹角 $<90^\circ$

叉积

叉积就是 $a\times b=x_1y_2-x_2y_1$
几何意义：两个向量起点共点时，形成的四边形的面积
叉积的性质：

$a\times b=0$ ， $a$ 和 $b$ 平行
$a\times b>0$ ， $a$ 在 $b$ 顺时针方向
$a\times b<0$ ， $a$ 在 $b$ 逆时针方向

凸包

平面凸包指能覆盖平面上 $n$ 个点的最小的凸四边形，我们可以使用Graham扫描法来求点和周长。

Graham扫描法的步骤如下：

找到最左下的点作为原点
将其他点与原点连一条线段，计算出线段与水平线的夹角，按夹角从小到大排序。若夹角相同，优先选择距离原点近的点。
维护一个栈，将前两个点放进栈中，遍历3~n。设栈顶前一个点为 $A_1$ ，栈顶的点为 $A_2$ ，枚举到的点为 $A_3$

如果 $A_1A_3$ 在 $A_1A_2$ 顺时针方向，则 $A_2$ 在凹陷处，应该删除，栈顶元素出栈，继续比较
如果 $A_1A_3$ 在 $A_1A_2$ 顺时针方向，则将 $A_3$ 压入栈中

遍历完后，栈中的点就是凸包上的点，周长为 $|\overrightarrow{s_1s_{top}}|+\sum\limits_{i=1}^{top}|\overrightarrow{s_is_{i+1}}|$

例题

P2742 [USACO5.1]Fencing the Cows

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,bz=1,tp,h[100005];
double ans=0;
struct node{
    double x,y;
}w[100005];
bool pt(node v1,node v2,node v3){
    if((v2.x-v1.x)*(v3.y-v1.y)-(v2.y-v1.y)*(v3.x-v1.x)<=0) return 1;
    return 0;
}
double dis(node ax,node bx){
    return sqrt((ax.x-bx.x)*(ax.x-bx.x)+(ax.y-bx.y)*(ax.y-bx.y));
}
bool cmp(node ax,node bx){
	double v1=atan2(ax.y-w[1].y,ax.x-w[1].x),v2=atan2(bx.y-w[1].y,bx.x-w[1].x);
    if(v1==v2) return dis(w[1],ax)<dis(w[1],bx);
    return v1<v2;
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%lf%lf",&w[i].x,&w[i].y);
        if(w[bz].y>w[i].y||w[bz].y==w[i].y&&w[bz].x>w[i].x) bz=i;
    }
    swap(w[1],w[bz]);
    sort(w+2,w+n+1,cmp);
    h[++tp]=1;h[++tp]=2;
    for(int i=3;i<=n;i++){
        if(w[i].x==w[i-1].x&&w[i].y==w[i-1].y) continue;
        while(tp>=2&&pt(w[h[tp-1]],w[h[tp]],w[i])) --tp;
        h[++tp]=i;
    }
    h[tp+1]=h[1];
    for(int i=1;i<=tp;i++){
        ans+=dis(w[h[i]],w[h[i+1]]);
    }
    printf("%.2f",ans);
    return 0;
}