三维偏序cdq

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本文介绍三维偏序cdq分治算法原理及应用，通过实例讲解如何使用数状数组维护第三维，实现复杂度O(nlog²n)的有效解决策略。

前置知识： $c d q$ 分治

了解了二维偏序的 $c d q$ 分治，三维偏序其实就是再套一维。

在用左区间更新有区间的时候，第一维和第二维都满足左边小于右边，但第三维不好判断。怎么办呢？用数状数组或线段树来维护第三维即可，其实就是二维偏序 $c d q$ 加一点东西。

线段树或数状数组的区间修改和单点查询都是 $O (l o g n)$ 的，所以三维偏序 $c d q$ 的复杂度一般是 $O(nlog^2n)$

code

void msort(int l,int r){
    if(l==r) return;
    int mid=(l+r)/2;
    msort(l,mid);msort(mid+1,r);
    sort(w+l,w+mid+1,cmp);sort(w+mid+1,w+r+1,cmp);
    int j=l;
    for(int i=mid+1;i<=r;i++){
        while(w[i].b>=w[j].b&&j<=mid){
            pt(w[j].c,w[j].s);++j;
        }
        w[i].ans+=ask(w[i].c);
    }
    for(int i=l;i<j;i++) pt(w[i].c,-w[i].s);
}

因为数状数组比较好打，所以一般都用数状数组来维护第三维。

例题

P3810 陌上花开

模板题，直接上代码

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,n1,k,tr[200005],ans[200005];
struct node{
    int a,b,c,s,ans;
    bool operator<(const node ax)const{
        if(a!=ax.a) return a<ax.a;
        if(b!=ax.b) return b<ax.b;
        return c<ax.c;
    }
}w[200005];
bool cmp(node ax,node bx){
    if(ax.b!=bx.b) return ax.b<bx.b;
    return ax.c<bx.c;
}
bool pd(node ax,node bx){
    return (ax.a==bx.a)&&(ax.b==bx.b)&&(ax.c==bx.c);
}
int lb(int i){
    return i&(-i);
}
void pt(int i,int a){
    while(i<=k){
        tr[i]+=a;i+=lb(i);
    }
}
int ask(int i){
    int re=0;
    while(i){
        re+=tr[i];i-=lb(i);
    }
    return re;
}
void msort(int l,int r){
    if(l==r) return;
    int mid=(l+r)/2;
    msort(l,mid);msort(mid+1,r);
    sort(w+l,w+mid+1,cmp);sort(w+mid+1,w+r+1,cmp);
    int j=l;
    for(int i=mid+1;i<=r;i++){
        while(w[i].b>=w[j].b&&j<=mid){
            pt(w[j].c,w[j].s);++j;
        }
        w[i].ans+=ask(w[i].c);
    }
    for(int i=l;i<j;i++) pt(w[i].c,-w[i].s);
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&k);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d%d%d",&w[i].a,&w[i].b,&w[i].c);
    }
    sort(w+1,w+n+1);
    int n1=0;
    for(int j=1;j<=n;n1++){
        while(j<=n&&pd(w[n1],w[j])){
            ++w[n1].s;++j;
        }
    }
    --n1;
    msort(1,n1);
    for(int i=1;i<=n1;i++){
        ans[w[i].ans+w[i].s-1]+=w[i].s;
    }
    for(int i=0;i<n;i++){
        printf("%d\n",ans[i]);
    }
    return 0;
}