cdq分治

介绍

$cdq$分治是一种分治思想的算法，一般用来求二维偏序的问题，可以将$O(n^2)$的时间复杂度优化到$O(nlogn)$

$cdq$分治的主要思想就是将要求的一段区间分为两个区间，先处理两个区间内的贡献，再处理两个区间相互的影响。因为左右区间相互独立，左区间在前，右区间在后，所以只有左区间影响右区间。只要在每次处理区间的时候处理左区间对右区间的影响，就能求出最后的答案。

递归的层数为$logn$，处理每层的时间复杂度为$O(n)$，所以总时间复杂度为$O(nlogn)$

归并排序求逆序对就是运用了$cdq$分治的思想，下面给出代码进行讲解。

洛谷P1908 逆序对

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,a[500005],b[500005];
long long ans=0;
void msort(int l,int r){
    if(l==r) return;
    int mid=l+r>>1;
    msort(l,mid);msort(mid+1,r);
    int j=l,k=l;
    for(int i=mid+1;i<=r;i++){
        while(a[j]<=a[i]&&j<=mid) b[k]=a[j],++j,++k;
        b[k]=a[i];++k;
        ans+=mid-j+1;
    }
    while(j<=mid) b[k]=a[j],++k,++j;
    for(int i=l;i<=r;i++) a[i]=b[i];
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
    msort(1,n);
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}

运用$cdq$分治的是函数$msort$，$msort(l,r)$表示将$[l,r]$进行处理，即求出$[l,r]$中的所有逆序对。

处理$[l,r]$，先处理$[l,mid]$和$[mid+1,r]$，然后将左右区间排序。当然，排序后，左区间各元素在原序列中都是在右区间各元素之前的，所以对于每个右区间的节点$i$，左区间对它的贡献就是左区间中大于它的元素。因为左右区间都是按$a$值排好序的，所以我们可以线性求出右区间每个点与左区间构成的逆序对。