Silhouette题解

tanjunming2020

已于 2022-09-21 20:19:10 修改

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分类专栏：题解文章标签： c++

于 2022-08-15 15:03:52 首次发布

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/tanjunming2020/article/details/126347043

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博客围绕一个n*n网格堆叠立方体问题展开。已知三维几何体正视图和左视图，求符合的堆叠方案数。通过将问题转化为方程组非负整数解问题，对相关数组排序，枚举数组中的数，分最大值和非最大值情况，分别针对矩形和L形区域求解方案数，最后将各区域解相乘得答案。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述

有一个 $n * n$ 的网格，在每个格子上堆叠了一些边长为1的立方体。现在给出这个三维几何体的正视图和左视图，求有多少种与之符合的堆叠立方体的方案。两种方案被认为是不同的，当且仅当某个格子上立方体的数量不同。输出答案对 $10^9+7$ 取模的结果。

题解

题目其实就是问下面方程组有多少个非负整数解

$∀i∈[1,n],max⁡j=1nxi,j=Ai,max⁡j=1nxj,i=Bi\forall i\in [1,n],\max\limits_{j=1}^n x_{i,j}=A_i,\max_{j=1}^n x_{j,i}=B_i$

我们可以先将 $A, B$ 排序，这对最终答案不会有什么影响。如果 $A$ 的最大值不等于 $B$ 的最大值，则无解；否则方程一定有解。

我们可以枚举 $A$ 数组和 $B$ 数组中每一个数 $s$ ，找出最大值为 $s$ 的区域，求出该区域的方案数。

如果此时的s $为$ $A, B$ 数组的最大值，则该区域显然是一个矩形。设这个矩形大小为 $a * b$ ，我们可以用容斥求解

设

$f(i)=C_a^i*(s^i*((s+1)^{a-i}-s^{a-i}))^b$

该区域的方案数为 $∑i=0a=(−1)if(i)\sum\limits_{i=0}^a=(-1)^if(i)$

若 $s$ 不是 $A, B$ 数组的最大值，则我们要求解的区域可能是一个矩形，也可能是一个 $L$ 形。矩形则同上， $L$ 形则要重新推公式。

如果是 $L$ 形，则非法的只有可能是 $L$ 形左下方满足 $a_i=s$ 且 $b_j=s$ 的矩形。因为上面的行的值和右边的列的值更大，不可能非法。

设这个矩形大小为 $a * b$ ，上面还有 $c$ 行，右边还有 $d$ 列。先处理 $(a + c) * b$ 的矩阵，在处理 $a * d$ 的矩阵

则设

$f[i]=∑i=0aCai∗(si∗((s+1)a+c−i−sa+c−i))b∗(si∗(s+1)a−i)df[i]=\sum\limits_{i=0}^a C_a^i*(s^i*((s+1)^{a+c-i}-s^{a+c-i}))^b*(s^i*(s+1)^{a-i})^d$

该区域的方案数为 $∑i=0a=(−1)if(i)\sum\limits_{i=0}^a=(-1)^if(i)$

最后将每个区域的解相乘即为答案。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,c1,a[100005],b[100005],c[200005];
long long ans=1,now,vk,jc[100005],ny[100005];
long long mod=1000000007;
long long mi(long long t ,long long v){
    if(v==0) return 1;
    long long re=mi(t,v/2);
    re=re*re%mod;
    if(v%2==1) re=re*t%mod;
    return re;
}
long long C(int x,int y){
    return jc[x]*ny[y]%mod*ny[x-y]%mod;
}
void pd(int a1,int b1,int c1,int d1,long long t){
    now=0;
    long long tp=1;
    for(int i=0;i<=a1;i++){
        vk=C(a1,i)*mi(mi(t,i)*((mi(t+1,a1+c1-i)-mi(t,a1+c1-i)+mod)%mod)%mod,b1)%mod;
        vk=vk*mi(mi(t,i)*mi(t+1,a1-i)%mod,d1)%mod;
        now=(now+tp*vk)%mod;
        now=(now+mod)%mod;
        tp=tp*(-1);
    }
}
int main()
{
    jc[0]=1;
    for(int i=1;i<=100000;i++) jc[i]=jc[i-1]*i%mod;
    ny[100000]=mi(jc[100000],mod-2);
    for(int i=99999;i>=0;i--){
        ny[i]=ny[i+1]*(i+1)%mod;
    }
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&a[i]);
        c[++c1]=a[i];
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&b[i]);
        c[++c1]=b[i];
    }
    sort(a+1,a+n+1);
    sort(b+1,b+n+1);
    sort(c+1,c+c1+1);
    c1=unique(c+1,c+c1+1)-c-1;
    if(a[n]!=b[n]){
        printf("0");
        return 0;
    }
    int l1=n+1,l2=n+1,v1=n,v2=n;
    for(int i=c1;i>=1;i--){
        while(a[v1-1]==c[i]) --v1;
        while(b[v2-1]==c[i]) --v2;
        pd(l1-v1,l2-v2,n-l1+1,n-l2+1,c[i]);
        ans=ans*now%mod;
        l1=v1;l2=v2;
    }
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}