### 常见概率分布的特征及其可视化图表
#### 正态分布 (Normal Distribution)
正态分布是一种连续型概率分布,其特点是均值、中位数和众数相等。它的概率密度函数呈钟形曲线,具有对称性和集中趋势的特点[^1]。
常用的可视化方法包括直方图叠加核密度估计(KDE),以及QQ图来验证数据是否符合正态分布。
```python
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import norm
data = np.random.normal(0, 1, 1000)
plt.hist(data, bins=30, density=True, alpha=0.6, color='g')
xmin, xmax = plt.xlim()
x = np.linspace(xmin, xmax, 100)
p = norm.pdf(x, 0, 1)
plt.plot(x, p, 'k', linewidth=2)
title = "Fit results: mu = %.2f, std = %.2f" % (0, 1)
plt.title(title)
plt.show()
```
---
#### 泊松分布 (Poisson Distribution)
泊松分布用于描述单位时间内随机事件发生的次数的概率分布。它适用于稀有事件的发生频率建模[^4]。通常通过条形图或折线图展示其概率质量函数(PMF)。
```python
from scipy.stats import poisson
import seaborn as sns
mu = 3
x = np.arange(poisson.ppf(0.01, mu), poisson.ppf(0.99, mu))
pmf = poisson.pmf(x, mu)
sns.barplot(x=x, y=pmf, color="blue")
plt.xlabel('Number of Events')
plt.ylabel('Probability Mass Function')
plt.title('Poisson Distribution PMF')
plt.show()
```
---
#### 指数分布 (Exponential Distribution)
指数分布主要用于描述独立随机事件发生的时间间隔。它是无记忆性的典型代表之一[^3]。可以通过累积分布函数(CDF)或者生存函数(Survival Function)进行可视化分析。
```python
from scipy.stats import expon
scale = 2.
x = np.linspace(expon.ppf(0.01, scale=scale),
expon.ppf(0.99, scale=scale), 100)
pdf = expon.pdf(x, scale=scale)
plt.plot(x, pdf, 'r-', lw=5, alpha=0.6, label='expon pdf')
plt.fill_between(x, pdf, color='pink', alpha=0.5)
plt.legend(loc='best')
plt.title('Exponential Distribution PDF')
plt.show()
```
---
#### 贝塔分布 (Beta Distribution)
贝塔分布在统计学中有广泛应用,特别是在共轭先验假设下作为二项式模型中的参数分布。其形状由两个正实数α和β控制[^2]。可以利用Seaborn库绘制其PDF图像。
```python
from scipy.stats import beta
a, b = 2.5, 1.5
x = np.linspace(beta.ppf(0.01, a, b), beta.ppf(0.99, a, b), 100)
pdf = beta.pdf(x, a, b)
sns.lineplot(x=x, y=pdf, color="purple", linewidth=2.5)
plt.fill_between(x, pdf, color="lavender", alpha=0.7)
plt.title('Beta Distribution PDF')
plt.show()
```
---
#### 卡方分布 (Chi-Square Distribution)
卡方分布广泛应用于假设检验领域,尤其是拟合优度测试和独立性检测等方面。一般采用KDE图配合理论分布曲线来进行比较研究。
```python
from scipy.stats import chi2
df = 5
x = np.linspace(chi2.ppf(0.01, df), chi2.ppf(0.99, df), 100)
pdf = chi2.pdf(x, df)
plt.plot(x, pdf, 'b-', lw=3, alpha=0.8, label='chi2 pdf')
plt.axvline(x=np.median(pdf), linestyle="--", c="orange", label="Median")
plt.legend()
plt.title('Chi-Square Distribution PDF')
plt.show()
```
---
#### t分布 (Student's T-Distribution)
t分布是在小样本情况下替代标准正态分布的一种工具,在置信区间构建与显著性水平判断方面发挥重要作用。可借助Matplotlib实现动态调整自由度的效果演示。
```python
from scipy.stats import t
fig, ax = plt.subplots(1, 1)
degrees_of_freedom = [1, 2, 5, 10]
for df in degrees_of_freedom:
x = np.linspace(t.ppf(0.01, df), t.ppf(0.99, df), 100)
pdf = t.pdf(x, df)
ax.plot(x, pdf, label=f'df={df}')
ax.set_title('T-Distribution with different Degrees of Freedom')
ax.legend()
plt.show()
```
---
#### F分布 (F-Distribution)
F分布经常被用来衡量两组数据之间的差异程度,尤其是在ANOVA分析过程中起到核心作用。下面给出一个简单的绘图实例:
```python
from scipy.stats import f
dof_num, dof_denom = 5, 10
x = np.linspace(f.ppf(0.01, dof_num, dof_denom),
f.ppf(0.99, dof_num, dof_denom), 100)
pdf = f.pdf(x, dof_num, dof_denom)
plt.plot(x, pdf, 'm--', lw=2, label='F pdf')
plt.fill_between(x, pdf, facecolor='thistle', edgecolor='none', alpha=.5)
plt.title('F-Distribution PDF Example')
plt.show()
```
---
#### 总结
以上列举了几种常见的概率分布形式连同它们各自的特性说明及对应的Python代码片段完成具体可视化的操作流程介绍。每一种分布都有独特的应用场景和技术背景支持,合理选用能够极大提升数据分析工作的效率与准确性。