P3390 【模板】矩阵快速幂

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前言

矩阵感觉更多的是套路和规则，只要把套路总结出来题目都是那么几类。

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题目大意

【模板】矩阵快速幂

题目背景

给出矩阵 $A$，求 $A^k$。

对于 $100\%$ 的数据，$1\le n\le 100$，$0\le k\le 10^{12}$，$|A_{i,j}|\le 1000$。

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思路

可以把矩阵理解成一个 $n\times m$ 的二维数组。在做题之前可以让我们证一下矩阵乘法的性质。

矩阵性质

结合律

这个律也是用的最多的一个。

$$A\times B\times C=A\times (B\times C)$$
左边：
$$c_{ij}=\sum _{k=1}{a}_{ik}{b}_{kj}$$
$$an{s}_{i,j}=\sum _{k=1}(\sum _{l=1}{A}_{il}{B}_{lk})\times C_{k,j}$$

右边：
$$c_{ij}=\sum _{k=1}{B}_{ik}{C}_{kj}$$
$$an{s}_{i,j}=\sum _{k=1}{A}_{i,k}\times c_{k,j}$$
$$an{s}_{i,j}=\sum _{k=1}{A}_{i,k}\times (\sum _{l=1}{B}_{k,l}\times C_{l,j})$$

在化一下清楚一点，的出来这两个式子：
$$\sum _{k,l}{A}_{i,l}\times B_{l,k}\times C_{k,j}$$
$$\sum _{k,l}{A}_{i,k}\times B_{k,l}\times C_{l,j}$$

分配律

挺显然的，不证了。可以理解为加法的话早晚得并乘法。

交换律

也很显然吧。$(n\ast m)\ast (m\ast p)$ 才能做计算，中间两个要相等。交换变成 $(m\ast p)\ast (n\ast m)$ 了，可能不行。

本题

本题就是知道什么是矩阵乘法，做法可以理解为一模一样的快速幂，只不过在计算的时候变量换成了矩阵，乘号换成了重载运算符后的矩阵乘法公式。

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代码

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll MAXN=105;
const ll MOD=1e9+7;
ll n;
struct Matrix{
    ll m[MAXN][MAXN];
    Matrix (){
        memset(m,0,sizeof(m));
    }
    void build(){
        for (int i = 1; i <=n ; ++i) {
            m[i][i]=1;
        }
    }
}a;
Matrix operator *(const Matrix &A,const Matrix &B){
    Matrix C;
    for (int k = 1; k <=n ; ++k) {
        for (int i = 1; i <=n ; ++i) {
            for (int j = 1; j <=n ; ++j) {
                C.m[i][j]+=A.m[i][k]*B.m[k][j];
                C.m[i][j]%=MOD;
            }
        }
    }
    return C;
}
ll k;
int main(){
    scanf("%lld%lld",&n,&k);
    for (int i = 1; i <=n ; ++i) {
        for (int j = 1; j <=n ; ++j) {
            scanf("%lld",&a.m[i][j]);
        }
    }
    Matrix ans;
    ans.build();
    while (k){
        if(k&1){
            ans= ans*a;
        }
        k>>=1;
        a=a*a;
    }
    for (int i = 1; i <=n ; ++i) {
        for (int j = 1; j <=n ; ++j) {
            printf("%lld ",ans.m[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }
    return 0;
}

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总结

证明了矩阵的分配律和结合律，交换律是错的。主要证明了结合律。