数电学习笔记Ⅱ——逻辑代数/布尔代数

前言

这一节的知识点比较杂，个人觉得对于初学者的大家以一个扫盲的态度来快速过一遍，把知识点大致的掌握就行了，我个人的经验是在掌握基本概念之后马上开始做题，做到不会的再回来翻以此加深印象。

二值逻辑代数

逻辑变量的概念（为什么要叫二值逻辑变量？）

我们用0和1来表示逻辑状态中的开与关、高与低。普通代数中变量的取值是不固定的，但是在逻辑代数中，逻辑变量的取值只能有0或1两个取值。所以我们叫它二值逻辑变量。

三个基本的逻辑运算（与、或、非）

比较简单，我们一笔带过。

与运算：
$L=A\cdot B=AB$
A、B与L的逻辑关系是“只有当一件事的几个条件全部具备之后，这件事才发生”
或运算：
$L=A+B$
即“当一件事情的几个条件中只要有一个条件得到满足，这件事情就会发生”
非运算：
$L=\overline{A}$
即“一件事情的发生是以其相反的条件为依据”

一些常用的逻辑运算（与非、或非、异或、同或）

与非：
$L=\overline{A\cdot B}=\overline{AB}$
或非：
$L=\overline{A+B}$
异或：
$L=\overline{A}B+A\overline{B}$
同或：
$L=AB+\overline{A}\overline{B}$

真值表：

A	B	L(与非)	L(或非)	L(异或)	L(同或)
0	0	1	1	0	1
0	1	1	0	1	0
1	0	1	0	1	0
1	1	0	0	0	1

逻辑函数的表达

四种表达方式：
真值表–Truth Table、逻辑函数表达式–Logic Expression、逻辑图–Logic Diagram、波形图–Timing Diagram。
本质上都一样，为了便于直观理解而已，这里给出示例，就不多解释了。

真值表–Truth Table

逻辑函数表达式–Logic Expression
$L=A\overline{B}+B$
逻辑图–Logic Diagram

波形图–Timing Diagram

逻辑代数

这些代数的基本法则在推导逻辑的时候感觉还蛮重要的，之后应该会专门出一篇文章来推导基本法则。

逻辑代数的基本公式

逻辑代数的基本定律

公式运用示例：

试化简下列逻辑函数表达式：
$L=(A+B)\cdot (\overline{A}+B)$
$L=A\overline{A}+AB+B\overline{A}+BB$
$=0+AB+B\overline{A}+B(运用定理A\overline{A}=0和AA=A)$
$=AB+B\overline{A}+B(运用定理A+0=A)$
$=B(A+\overline{A}+1)(运用定理A\cdot (B+C)=A\cdot B+A\cdot C)$
$=B\cdot 1=1$

需要注意的是，逻辑代数和我们一直以来接触使用的初等代数非常不一样，上面我所列举的基本公式和定律，它所反映的是逻辑关系而不是数量之间的关系，在我们进行运算的时候不能想当然的简单套用初等代数的运算规则。初等代数的移项规则在逻辑代数中就不能用，因为逻辑代数中不存在减法！

逻辑代数的基本规则

基本运算定律对于理解逻辑运算的本质和进行简单的表达式简化确实足够了。但是还不能够帮助我们去很好的处理化简复杂的逻辑表达。
了解基本规则，我个人认为，作用在于帮助我们从看待初等代数问题的角度离开，建立一个处理逻辑代数的思维模式和方法。
1.代入规则
变量A=任意一个函数：

e.g:
$B(A+C)=BA+BC$ 若使得A=E+F->
$B((E+F)+C)=B(E+F)+BC$

2.反演规则(import!)
根据摩根定理，由原函数$L$的表达式，求它的非函数$\overline{L}$时,
可以将

1. $L$中的与或互换$(+)<->(\cdot )$
2. $L$中原变量与非变量互换：$A<->\overline{A}$
3. $L$中的$1<->0$

e.g:
if $L=\overline{A}\cdot \overline{B}+CD+0$
$\overline{L}=(A+B)(\overline{C}\cdot \overline{D})\cdot 1$

3.对偶规则
设$L$是一个逻辑表达式，将$L$中的“与、或互换，0、1互换”就得到了他的对偶式，也就是$L\prime$
对偶规则指出，当某个逻辑表达式相等，则它们的对偶式也相等，
那么比如说我们的吸收律$A+\overline{A}B=A+B$成立，那通过对欧律我们就能知道$A(\overline{A}+B)=AB$这也是成立的。