poj 1260（动态规划）

问题描述：

已知：珍珠有(c1, c2, ..., cn)共n个品级，对应不同的价格(p1, p2, ..., pn)。购买品级为ci的珍珠需缴纳且只缴纳一次额外费用，具体值为10*pi。现购买一批珍珠，购买数量为(a1, a2, ..., an)，ai代表购买品级为ci的珍珠的数量。整个数量结构可以变动，规则为：可购买需要品级的珍珠或同等数量更高品级的珍珠，但不能购买更低等级的珍珠

求：购买珍珠的最少花费

输入：第1行为case数；第2行为case 1的品级数；第2行至第n行为case1的各品级的ai，pi；第n+1行为case2的品级数……

输出：最少花费

Sample Input：

2

2

100 1

100 2

3

1 10

1 11

100 12

Sample Output：

330

1344

思路：

首先考虑了一种贪心算法：设e(i)为品级ci至最高品级cn的最少花费，则e(n)=[a(n)+10]*p(n)，e(i)=min{[a(i}+10]*p(i), a(i)*p(j) j>i且品级cj已被购买过}，原问题的解为e(0)

代码如下

#include <stdio.h>
#include <limits.h>
int a[110];
int p[110];
long e[110];
int f[110];
int case_n;
int class_n;
void dp(){
	int n = class_n;
	long e_min;
	int has;
	e[n-1] = (a[n-1]+10)*p[n-1];
	f[n-1] = 1;
	for(int i = n-2; i >= 0; i--){
		f[i] = 0;
		e_min = 100*1000*1000*10;
		for(int j = i+1; j <= n-1; j++){
			if(f[j] == 1 && a[i]*p[j] < e_min){
				e_min = a[i]*p[j];
				has = j;
			}
		}
		if(e_min < (a[i]+10)*p[i]){
			e[i] = e_min;
			f[has] = 1;
		}
		else{
			e[i] = (a[i]+10)*p[i];
			f[i] = 1;
		}
	}
	long sum = 0;
	for(int i = 0; i < n; i++)
		sum += e[i];
	printf("%ld\n", sum);
}

int main(){
	scanf("%d", &case_n);
	for(int i = 0; i < case_n; i++){
		scanf("%d", &class_n);
		for(int j = 0; j < class_n; j++)
			scanf("%d%d", &a[j], &p[j]);
		dp();
	}
	return 0;
}

但这种思路是错误的，不能简单地将较低品级归于较高品级仅仅为了这次省了钱，还有可能更低的品级归于当前品级而总价格更低，也就是说，子问题贪心得到的最优解并不能保证最终原问题也是最优解

新的思路基于以下两个命题的正确性

• 如果品级为a的珍珠将与更高品级b合并，则必须将所有品级为a的珍珠与b合并。即不能将同品级的珍珠分到两个或更多的品级购买
• 等级为b的珍珠只能将比它低的若干个连续的等级合并进来，即品级为b的珍珠只能与品级b-1, b-2, ..., b-k的珍珠合并（反证法可证明）

设e(i)为从品级c1至ci购买的最少花费，则根据如上性质，可得递归表达式

即将(c1, c2, ..., ci)分割为(c1, c2, ..., cj)与(cj+1, ..., ci)两部分，前一部分为子问题的解，后一部分的所有品级均合并至ci，容易算出

算法枚举所有分割点cj，取最小值为e(i)

j=0代表一种特殊情况，即c1, c2, ..., ci-1均合并至ci，此时e(j)=0

代码：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <limits.h>

int case_n;
int class_n;
int a[110];
int p[110];
long e[110];
long dp(){
	int ee;  
	e[0] = (a[0]+10)*p[0];
	for(int i = 1; i < class_n; i++){
		e[i] = LONG_MAX;
		for(int j = -1; j < i; j++){
			ee = 0;  
			for(int k = j+1; k <= i; k++){
				ee += a[k];
			}
			if(j == -1)
				ee = (ee+10)*p[i];
			else
				ee = e[j]+(ee+10)*p[i];
			e[i] = (ee < e[i]) ? ee : e[i];
		}
	}
	return e[class_n-1];
}

int main(){
	scanf("%d", &case_n);
	for(int i = 0; i < case_n; i++){
		scanf("%d", &class_n);
		for(int j = 0; j < class_n; j++){
			scanf("%d%d", &a[j], &p[j]);
		}
		printf("%ld\n", dp());
	}
	return 0;
}