最长上升子序列（LIS）问题

问题描述

给定一个序列(a1, a2, ..., an)，求它的一个子序列(ak1, ak2, ..., aki) （不一定连续），使得该子序列满足ak1 < ak2 < ... < akn且长度最长，如序列(1, 7, 3, 5, 9, 4, 8)的一个LIS是(1, 3, 5, 8)

递归表达式

作如下定义

• e(i)：表示以ai为最后一个元素的最长子序列的长度

由以上定义可得如下递归表达式

则原问题最优解为max{e(1), e(2), ..., e(n)}

代码

int n;
int a[1000];  //a保存输入序列
int e[1000];  //e[i]表示必须以a[i]结尾的序列的LIS长度
int ee;
int e_max;
int dp(){
	for(int i = 0; i < n; i++)  //初始化为0
		e[i] = 0;
	e[0] = 1;
	for(int i = 1; i < n; i++){
		ee = 0;  //ee表示必须以某个小于a[i]的元素结尾的序列的LIS长度最大值
		for(int j = 0; j < i; j++){
			if(a[j] < a[i])  //只有当a[j]<a[i]时，才可能更新ee
				ee = (e[j] > ee) ? e[j] : ee;
		}
		e[i] = ee+1;  //若a[i]最小，则e[i] = 1，否则e[i] = ee+1
	}
	e_max = INT_MIN; //e_max表示(e[0],e[1],...,e[n-1])的最大值，即原问题的最优解，初始化为INT_MIN
	for(int i = 0; i < n; i++)
		e_max = (e[i] > e_max) ? e[i] : e_max;
	return e_max;
}