12、系统分析中的DUSF与BPF集合特性研究

系统分析中的DUSF与BPF集合特性研究

1. 积分运算矩阵与相关变换矩阵

在系统分析中，我们得到了如下重要等式：
[
\int_{0}^{t}U_{m}(\tau)d\tau = P_{B(m)}U_{m}(t) \quad (6.31)
]
对比方程((6.11))和((6.31))，可以得出：
[
P_{D(m)} = P_{B(m)}
]
接下来，我们关注积分运算矩阵以及相关的变换矩阵。对于定理的证明，我们引入了可逆变换矩阵(N(m))，将方程((6.17))代入方程((6.11))可得：
[
\int_{0}^{t}\Psi_{m}(\tau)d\tau = N^{-1}(m)P_{D(m)}N(m)\Psi_{m}(t) \quad (6.32)
]
对比方程((6.25))和((6.32))，有：
[
P_{B(m)} = N^{-1}(m)P_{D(m)}N(m) \quad (6.33)
]
为了简化表示，我们去掉下标((m))，得到：
[
P_{B} = N^{-1}P_{D}N \quad (6.34)
]
方程((6.34))十分有趣，若该方程成立，那么(P_{D})在变换下应保持不变。这只有在方程((6.34))右侧的矩阵乘积可交换时才有可能实现，但一般情况下，矩阵乘积是不可交换的。

1.1 矩阵乘积可交换的引理

引理表明，两个非零、非单位且非循环的方阵(A, B \in \mathbb{R}^{m\times m})（其中(A^{-1} \neq B)