14、机器学习中的线性回归与梯度下降算法详解

机器学习中的线性回归与梯度下降算法详解

1. 引言

在机器学习领域，我们会接触到多种训练模型的方法，如批量梯度下降（batch GD）、小批量梯度下降（mini - batch GD）和随机梯度下降（stochastic GD）。接下来，我们将探讨多项式回归，这是一种能拟合非线性数据集的更复杂模型，但它比线性回归更容易出现过拟合问题。我们还会研究逻辑回归和softmax回归这两种常用于分类任务的模型。在学习过程中，会涉及不少数学方程，需要我们具备线性代数和微积分的基础知识。

2. 线性回归模型

2.1 线性回归模型的基本形式

线性回归模型是对输入特征的加权求和，再加上一个常数（偏置项）。其基本形式如下：
- 一般形式：$\hat{y} = \theta_0 + \theta_1x_1 + \theta_2x_2 + \cdots + \theta_nx_n$
- $\hat{y}$ 是预测值。
- $n$ 是特征的数量。
- $x_i$ 是第 $i$ 个特征的值。
- $\theta_j$ 是第 $j$ 个模型参数，包括偏置项 $\theta_0$ 和特征权重 $\theta_1, \theta_2, \cdots, \theta_n$。
- 向量化形式：$\hat{y} = h_{\theta}(x) = \theta \cdot x$
- $h_{\theta}$ 是使用模型参数 $\theta$ 的假设函数。
- $\theta$ 是模型的参数向量，包含偏置项 $\theta_0$ 和特征权重 $\theta_1$ 到 $\theta_n$。
- $x$ 是