16、仿射变换：图形处理的核心技术

仿射变换：图形处理的核心技术

1. 仿射变换简介

仿射变换在2D图形应用中至关重要，它决定了如何在屏幕上进行平移、缩放和旋转操作。例如，在AutoCAD中放大绘图的某一部分，或者在Instagram中对图片进行缩放和旋转，都运用了仿射变换。掌握这一主题对于编写涉及图形的软件非常关键，尤其是那些允许用户与图形进行交互的软件。

仿射变换基于仿射空间，仿射空间可以看作是原点可以移动的向量空间。与向量空间中的线性变换不同，线性变换会保留空间原点的位置，而仿射空间中允许进行平移操作。

仿射变换是两个仿射空间之间的映射，它能保持点、直线和平面的性质。经过仿射变换后，点仍然是点，直线仍然是直线，平面仍然是平面，并且直线之间的平行性也会得到保留。

2. 仿射变换的数学表达

给定一个点 $P$，仿射变换可以用表达式 $P′ = [M]P +\vec{t}$ 来定义，其中 $M$ 是线性变换，$\vec{t}$ 是平移向量，$P′$ 是应用变换后的结果点。其具体形式如下：
[
\begin{pmatrix}
x′ \
y′
\end{pmatrix}
=
\begin{bmatrix}
s_x & s_{hx} \
s_{hy} & s_y
\end{bmatrix}
\begin{pmatrix}
x \
y
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
t_x \
t_y
\end{pmatrix}
]
线性变换