线段树和树状数组

一、线段树和树状数组的区别

线段树可以在O(log(N))时间复杂度内寻找区间极值和区间和，线段树的创建时间复杂度为O(log(N))，空间复杂度为O(>=2n-1)；树状数组可以在O(log(N))的时间复杂度内计算区间极值和区间和，树状数组的创建时间复杂度为O(Nlog(N))，空间复杂度为O(N)。线段树求解的区间是任意的，越界也无所谓，但是树状数组求解的区间必须是从1开始的合法区间。

二、线段树

　　线段树是一种二叉搜索树，什么叫做二叉搜索树，首先满足二叉树，每个结点度小于等于二，即每个结点最多有两颗子树，何为搜索，我们要知道，线段树的每个结点都存储了一个区间，也可以理解成一个线段，而搜索，就是在这些线段上进行搜索操作得到你想要的答案。

1．线段树的建立

对于arr数组构建的线段树，每一个节点的值是数组对应下标的加和，叶子节点就是数组中原本的值。

2. 线段树的存储

构建一个满二叉树，这样能很快的找到左右孩子

/*
所有和树相关的下标都加一个node
其他的是原始数组的下标 
*/ 
#include<iostream>
#define MAX_LEN 1000
using namespace std;

//arr是原始数组 tree是构建的线段树数组 node表示要构建的线段树数组的下标 
void build_tree(int arr[], int tree[], int node, int start, int end)
{	
	if(start == end) {//递归出口，即走到叶子节点，
		tree[node] = arr[start];
	}
	else{
		int mid = (start+end)/2;
		int left_node = 2*node+1;
		int right_node = 2*node+2;
		//递归，先算左节点，再算右节点
		build_tree(arr, tree, left_node, start, mid);
		build_tree(arr, tree, right_node, mid+1, end);
		//填值 左边的和右边的相加
		tree[node] = tree[left_node] + tree[right_node];
	}	
} 

//把arr的idx改成 val
void update_tree(int arr[], int tree[], int node, int start, int end, int idx, int val)
{
	//递归出口，即到达叶子节点 
	if(start == end){
		arr[idx] = val;
		tree[node] = val;
	}
	else{
		int mid = (start + end) / 2;
		int left_node = 2 * node + 1;
		int right_node = 2 * node + 2;
		//确定需要修改的区间范围 
		if(idx >= start && idx <= mid){
			update_tree(arr, tree, left_node, start, mid, idx, val);
		} 
		else{
			update_tree(arr, tree, right_node, mid+1, end, idx, val);
		}
		//最后更新根节点 
		tree[node] = tree[left_node] + tree[right_node];
	}	
}

//查询是左端点L到右端点R的区间和
int query_tree(int arr[], int tree[], int node, int start, int end, int L, int R)
{
	//看递归过程 
	cout << "start=" << start << "  end=" << end << endl;
	if(R < start || L > end){ //递归出口  空间没有重叠的范围 直接return 
		return 0;
	}
	else if(L <= start && end <= R){
		return tree[node];
	}
	else if(start == end){ //算到叶子节点，直接返回这个 
		return tree[node];
	}
	else{ //从跟节点出发 从中间劈开 算左边的和右边的，然后将两者相加
		int mid = (start + end) / 2;
		int left_node = 2 * node + 1;
		int right_node = 2 * node + 2;
		int sum_left = query_tree(arr, tree, left_node, start, mid, L, R);
		int sum_right = query_tree(arr, tree, right_node, mid+1, end, L, R);
		return sum_left + sum_right;
	}
}

int main()
{
	int arr[] = {1, 3, 5, 7, 9, 11};
	int size = 6;
	int tree[MAX_LEN] = {0};
	
	build_tree(arr, tree, 0, 0, size-1); 
	for(int i = 0; i < 15; i++){
		cout << "tree[" << i << "] = " << tree[i] << endl; 
	} 
	 
	update_tree(arr, tree, 0, 0, size-1, 4, 6);
	for(int i = 0; i < 15; i++){
		cout << "tree[" << i << "] = " << tree[i] << endl; 
	} 
	 
	int s = query_tree(arr, tree, 0, 0, size-1, 2, 5);
	cout << s;
    return 0;
}

 

三、树状数组

1.前置知识

Lowbit() 非负整数n在二进制表示下最低位1及其后面的0构成的数值。e.g. lowbit(44)=lowbit((101100)2)= (100)2= 4

2. 树状数组的表示

t[x]保存以为根的子树中叶节点值的和

t[x]节点的长度等于lowbit(x)

t[x]节点的父节点为t[x+lowbit(x)]

整棵树的深度为log2n +1

 

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;

int n;
int a[1010]; //原始数组
int t[1010]; //树状数组 

//单点修改 在x位置上加k 
void add(int x, int k)
{
	while(x <= n){
		t[x] += k;
		x += x&-x;
	} 	
} 

//区间查询 x位置的前缀和 a[0....i]的和 
int ask(int x)
{
	int ans = 0;
	while(x > 0){
		ans += t[x];
		x -= x&-x;
	} 
	return ans;
}

int main()
{
	cin >> n;
	for(int i = 1; i<= n; i++){
		cin >> a[i];
		add(i, a[i]);
	}
	int left, right;
	cin >> left >> right;
	cout << ask(right) - ask(left-1);
    return 0;
}