补零、插值后FFT变换的影响以及频率分辨率的理解

频率分辨率

我们在对DTFT的频谱进行采样后自然会涉及到分辨率这个问题，频率分辨率的计算公式为：

由于DFT是对DTFT频谱的采样，所以我们往往会认为频率分辨率与采样的点数即N有关，即采样点数越多，频率分布越密集，分辨率越高。

而实际上对采集到的信号序列进行“高密度”的FFT变换时（即FFT变换的点数大于信号的点数），只是将确定的频谱分割的细一点，不能区分的频率仍旧不能区分。真正与频率的分辨能力有关的应该是谱线的宽度！

我们用matlab显示频谱的时候，如果没有放大，几乎看不出谱线宽度的区别，实际上我们对任何信号进行FT变换之前都会无意地引入了加矩形窗的处理，而加入矩形窗的结果就是谱线不再是“冲激”，而是具有一定的宽度，这与矩形窗的主瓣是有关系的，至于频谱的旁瓣则与矩形窗的旁瓣有关。这就是大家常说的“频谱泄漏”。

经过上面的叙述，频率的分辨能力与谱线的宽度有关（谱线越细，自然能分辨的频率间隔就越小），谱线的宽度又与矩形窗的主瓣有关，矩形窗的主瓣又与矩形窗的时间长度有关。所以频率的分辨能力只与矩形窗的时间长度有关即只与采样的时间T有关（而不是N），后面会有matlab仿真验证这一点。

补零与插值对FFT的影响

我们常常在对序列进行FFT变换之前会进行补零或者插值操作，但是二者对FFT的影响我一直很模棱两可，现在结合频率分辨率与matlab仿真结果对两者的影响进行总结与分析。

仿真的代码如下：

% 看看插值和补零对FFT结果的影响。
clc
clear
% 采样频率
fs = 4000;
% 三个频率分量
f1 = 200;
f2 = 400;
f3 = 600;
% 采样800个点,1000个点
n = 800;
m = 1200;
t = 0:1/fs:(n-1)/fs;
tt= 0:1/fs:(m-1)/fs;
x = 0.4*sin(2*pi*t*f1) + 0.2*sin(2*pi*t*f2) + 0.1*sin(2*pi*t*f3);
% 补零到1200
x1 = [x zeros(1,1200-length(x))];
% 插值到1200
t2 = 0:1/fs/1.5:(n-1)/fs;
% 进行插值
x2 = interp1(t,x,t2,'linear');
x3 = 0.4*sin(2*pi*tt*f1) + 0.2*sin(2*pi*tt*f2) + 0.1*sin(2*pi*tt*f3);
% 进行FFT变换
y  = fft(x);
y1 = fft(x,1200);
y2 = fft(x1);
y3 = fft(x2);
y4=fft(x3);
% 计算,横坐标换算为Hz，纵坐标换算为幅值
figure(1)
plot(fs*[0:length(x)-1]/length(x),abs(y)*2/length(x));title('采样点 800 ');
figure(2)
plot(fs*[0:length(x1)-1]/length(x1),abs(y1)*2/length(x1));title('“高密度”的FFT变换（即FFT变换的点数大于信号的点数）');
figure(3)
plot(fs*[0:length(x1)-1]/length(x1),abs(y2)*2/length(x));title('对原序列进行补零后再进行FFT变换');
figure(4)
plot(fs*[0:length(x2)-1]/length(x2),abs(y3)*2/length(x2));title('插值后再进行FFT变换');
figure(5)
plot(fs*[0:length(x3)-1]/length(x3),abs(y4)*2/length(x3));title('对采样时间延长的信号序列进行FFT变换');

上面五个结果分辨是对原信号直接进行傅立叶变换，第二个是进行“高密度”的FFT变换（即FFT变换的点数大于信号的点数），第三个是对原序列进行补零后再进行FFT变换，第四个是进行插值后再进行FFT变换，第五个是对采样时间延长的信号序列进行FFT变换。

结果如图所示：

通过两幅图的结果我们可以发现，采样时间延长的谱线会更细一点，频谱的分辨率会更高（即能区分的频率间隔更小），这一点通过对两幅图放大后可以更加直观的发现。

通过上面三幅图的结果可以发现：图一跟图二是一样的，这是因为高密度FFT的处理过程也是先对原序列补零然后再进行FFT，所以两种结果是一样的。

这也提示我们不用自己人为地去给序列做补零操作，在Matlab的变换中，只需要改变进行FFT变换的点数即可。

虽然插值后时域点数增多，但是插值后的谱线宽度也没有减小，这是因为插值相当于提高了采样频率，所以点数会增多，但是采样的时间并没有变，所以频率的分辨率并没有变小，即谱线并没有变细。

如果通过细致地观察，我们还可以发现原序列插值后的FFT结果的旁瓣会减小，但是会出现别的频率分量（小凸起）