B4016 树的直径 c++题解

B4016 树的直径 c++题解

免责说明：本题思路来自我的学长Yzh929，感谢学长提供的宝贵思路

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B4016 树的直径

题目描述

给定一棵 $n$ 个结点的树，树没有边权。请求出树的直径是多少，即树上最长的不重复经过一个点的路径长度是多少。

输入格式

第一行输入一个正整数 $n$，表示结点个数。

第二行开始，往下一共 $n-1$ 行，每一行两个正整数 $(u,v)$，表示一条边。

输出格式

输出一行，表示树的直径是多少。

输入输出样例 #1

输入 #1

5 1 2 2 4 4 5 2 3

输出 #1

3

说明/提示

数据保证，$1\le n\le 10^5$。

1.题目内容

定义为树中两个节点之间最长 ‌简单路径‌（无重复节点）的长度，也称最长链。
输入一棵树（无向、无环、连通图），输出其直径值。

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2.难度

• 普及/提高−

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3.题目所需知识点

• 深度优先搜索 DFS
• 树形 DP
• 树的直径

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4.知识点讲解

树上任意两节点之间最长的简单路径即为树的「直径」。
如图所示：

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5. 思路（本题采用深度优先搜索 DFS解）

算法核心思想：

• 步骤1‌：从任意节点（如节点1）出发，通过DFS找到最远节点 begin（必为直径的一个端点）。

• 步骤2‌：从 begin 出发再次DFS，找到最远节点 end，此时 begin 到 end 的路径即为直径。

关键数据结构：

• vector tr[]：邻接表存储树结构，空间复杂度O(n)。
• dep[]数组：记录节点深度，用于计算路径长度。
• maxx和node：动态维护当前最大深度及对应节点。

注：树的直径——可能有多个

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6.复杂度分析

A 时间复杂度分析‌

两次DFS遍历‌：

• 代码通过两次DFS求解树的直径，每次DFS均完整遍历所有节点（共 n 个），时间复杂度为 ‌O(n)‌。

• 总时间复杂度为 ‌O(n) + O(n) = O(n)‌，即线性复杂度，效率最优。

邻接表操作‌：

• 使用 vector 存储树结构时，每条边仅被访问一次（共 n-1 条边），建图时间复杂度为 ‌O(n)‌。

B 空间复杂度分析‌

‌邻接表存储‌：

• 邻接表 tr[] 存储 n 个节点的邻接关系，空间复杂度为 ‌O(n)‌。

‌辅助数组‌：

• 深度数组 dep[] 占用 ‌O(n)‌ 空间，无额外大规模开销。
• 总空间复杂度为 O(n)‌，与节点规模线性相关。

维度	‌复杂度‌	优势‌
时间	O(n)	两次DFS严格线性遍历，无冗余操作
空间‌	O(n)	仅需邻接表+深度数组，无递归栈溢出风险
‌适用性‌	-	高效处理 ‌1e5 节点规模‌ 的数据

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7.代码片段分析

学长讲解

 //众所周知，树的直径简单来说即是树上边权和最大的路径 //ta的查找方法是： // 
 //1.先从任意一点出发，找到离这个点最远的地方 ，记为begin 
 //  2.从 begin出发，找到离 begin最远的点，记为end 
 //  3.同时记录 begin—end的边权之和，即为答案  

• 变量和vector的定义

int n,u,v,node,dep[(int)1e5+5],maxx=-1;
vector<int> tr[(int)1e5+5];//vector存图 

• 深搜函数的定义

void dfs(int x,int f){//x 表示当前节点，f表示其父亲 
	for(auto ne:tr[x]){  //遍历tr[x]的儿子，ne表示遍历到的tr[x]的每一个儿子 
		if(ne==f) continue;//不能往回走（儿子不能走向父亲，不然死循环） 
		dep[ne]=dep[x]+1;//递推更新儿子节点深度 
		dfs(ne,x);//dfs 
	}
	if(dep[x]>maxx){//找最远距离 
		maxx=dep[x];
		node=x;//找最远节点 
	}
}

• vector存双向边

for(int i=1;i<=n-1;i++){
		cin>>u>>v;
		tr[u].push_back(v); //vector存双向边 
		tr[v].push_back(u);
	}

树是一种特殊的无向连通无环图，每条边实际是双向连接的。当存储边(u,v)时，需要在u的邻接表中添加v，同时在v的邻接表中添加u，这样才能完整表示无向边。

双向存储确保DFS能正确遍历所有邻接节点。例如代码中 if(ne==f) continue 通过父节点判断避免回溯，依赖的就是双向存储提供的完整邻接关系。

• 第一次dfs和第二次dfs的使用

dfs(1,0); //第一遍dfs完成步骤1 
	memset(dep,0,sizeof(dep));//注意清空统计需要用的量 
	maxx=-1;
	dfs(node,0);//dfs同理，完成步骤2 

• 输出

cout<<dep[node]<<'\n';//由于第二遍dfs是从begin为根开始的，因此end的深度即为所求 
cout<<dep[node]<<'\n';//由于第二遍dfs是从begin为根开始的，因此end的深度即为所求 
	return 0;
}
//学长现敲，完结撒花 ~

再次感谢学长提供的思路

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8.AC代码

//众所周知，树的直径简单来说即是树上边权和最大的路径
//ta的查找方法是：
//  1.先从任意一点出发，找到离这个点最远的地方 ，记为begin 
//  2.从 begin出发，找到离 begin最远的点，记为end
//  3.同时记录 begin—end的边权之和，即为答案 
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,u,v,node,dep[(int)1e5+5],maxx=-1;
vector<int> tr[(int)1e5+5];//vector存图 
void dfs(int x,int f){//x 表示当前节点，f表示其父亲 
	for(auto ne:tr[x]){  //遍历tr[x]的儿子，ne表示遍历到的tr[x]的每一个儿子 
		if(ne==f) continue;//不能往回走（儿子不能走向父亲，不然死循环） 
		dep[ne]=dep[x]+1;//递推更新儿子节点深度 
		dfs(ne,x);//dfs 
	}
	if(dep[x]>maxx){//找最远距离 
		maxx=dep[x];
		node=x;//找最远节点 
	}
}
int main(){
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n-1;i++){
		cin>>u>>v;
		tr[u].push_back(v); //vector存双向边 
		tr[v].push_back(u);
	}
	dfs(1,0); //第一遍dfs完成步骤1 
	memset(dep,0,sizeof(dep));//注意清空统计需要用的量 
	maxx=-1;
	dfs(node,0);//dfs同理，完成步骤2 
	cout<<dep[node]<<'\n';//由于第二遍dfs是从begin为根开始的，因此end的深度即为所求 
	return 0;
}
//学长现敲，完结撒花 ~

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