欧拉函数表的O(NloglogN)和O(N)预处理

最新推荐文章于 2024-04-27 19:52:45 发布

synapse7

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分类专栏：算法详解&模板数论 acm之路--数学文章标签： ACM C++ 数论 phi

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/synapse7/article/details/19753947

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本文介绍了一种利用埃拉托斯特尼筛法原理高效计算欧拉函数φ(n)的方法，并给出了两种不同的实现算法：一种是简化版筛法，时间复杂度为O(NloglogN)；另一种是线性版本，时间复杂度为O(N)。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

代码思想来自埃拉托斯特尼筛法，参考：http://blog.youkuaiyun.com/synapse7/article/details/18727405

简要地解释下phi(k*p^2) = p*phi(kp)：（请把k素数分解之后思考）

因为phi(p^r)=p^r-p^(r-1)，phi(p^(r-1))=p^(r-1)-p^(r-2)，所以phi(p^r)=p*phi(p^(r-1))

#include <cstdio>
const int mx = 50001;

int prime[mx], phi[mx];
bool unprime[mx];

///O(NloglogN)，推荐
void phi_table()
{
	int i, j;
	for (i = 2; i < mx; ++i)
		if (!phi[i])
			for (j = i; j < mx; j += i)
			{
				if (!phi[j]) phi[j] = j;
				phi[j] -= phi[j] / i; ///简化后的代码
			}
}

///O(N)
void linear_phi_table2()
{
	int i, j, k = 0;
	for (i = 2; i < mx; i++)
	{
		if (!unprime[i]) ///若i为素数，phi(i)=i-1
		{
			prime[k++] = i;
			phi[i] = i - 1;
		}
		for (j = 0; j < k && prime[j] * i < maxn; j++)
		{
			unprime[prime[j] * i] = true;
			if (i % prime[j]) ///若i和p互素，则phi(i*p) = phi(i) * phi(p) = phi(i) * (p-1)
				phi[prime[j] * i] = phi[i] * (prime[j] - 1);
			else
			{
				///此时有i=kp，则
				///phi(p*kp) = phi(k*p^2) = p*phi(kp)
				phi[prime[j] * i] = phi[i] * prime[j];
                break;
			}
		}
	}
}

int main()
{
	phi_table();
	return 0;
}