欧拉函数表的O(NloglogN)和O(N)预处理

本文介绍了一种利用埃拉托斯特尼筛法原理高效计算欧拉函数φ(n)的方法,并给出了两种不同的实现算法:一种是简化版筛法,时间复杂度为O(NloglogN);另一种是线性版本,时间复杂度为O(N)。

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代码思想来自埃拉托斯特尼筛法,参考:http://blog.youkuaiyun.com/synapse7/article/details/18727405


简要地解释下phi(k*p^2) = p*phi(kp):(请把k素数分解之后思考)

因为phi(p^r)=p^r-p^(r-1),phi(p^(r-1))=p^(r-1)-p^(r-2),所以phi(p^r)=p*phi(p^(r-1))

#include <cstdio>
const int mx = 50001;

int prime[mx], phi[mx];
bool unprime[mx];

///O(NloglogN),推荐
void phi_table()
{
	int i, j;
	for (i = 2; i < mx; ++i)
		if (!phi[i])
			for (j = i; j < mx; j += i)
			{
				if (!phi[j]) phi[j] = j;
				phi[j] -= phi[j] / i; ///简化后的代码
			}
}

///O(N)
void linear_phi_table2()
{
	int i, j, k = 0;
	for (i = 2; i < mx; i++)
	{
		if (!unprime[i]) ///若i为素数,phi(i)=i-1
		{
			prime[k++] = i;
			phi[i] = i - 1;
		}
		for (j = 0; j < k && prime[j] * i < maxn; j++)
		{
			unprime[prime[j] * i] = true;
			if (i % prime[j]) ///若i和p互素,则phi(i*p) = phi(i) * phi(p) = phi(i) * (p-1)
				phi[prime[j] * i] = phi[i] * (prime[j] - 1);
			else
			{
				///此时有i=kp,则
				///phi(p*kp) = phi(k*p^2) = p*phi(kp)
				phi[prime[j] * i] = phi[i] * prime[j];
                break;
			}
		}
	}
}

int main()
{
	phi_table();
	return 0;
}

### 高效预处理欧拉函数的前缀 为了高效地预处理欧拉函数的前缀,可以基于线性筛法来实现。以下是具体方法: #### 方法概述 通过线性筛法可以在 \(O(n)\) 的时间复杂度内完成欧拉函数 \(\phi\) 的计算,并进一步利用一维数组存储其前缀。 核心思想在于,在筛选过程中更新每个数对应的欧拉函数值的同时,维护一个额外的一维数组用于记录这些值的累加。这种方法充分利用了线性筛的时间效率优势[^1]。 #### 实现细节 在线性筛的过程中,对于每一个未被标记为合数的整数 \(i\),将其视为质数并初始化其欧拉函数值为 \(i-1\)。如果当前数值 \(i\) 被某个已知质数 \(p_j\) 整除,则依据性质调整该位置上的欧拉函数值;否则按照乘积关系直接设定新的欧拉函数值[^2]。 在此基础上增加一步操作——每当得到一个新的欧拉函数值时立即更新到总中去。这样最终能够一次性获得整个范围内的所有欧拉函数及其累积结果。 下面是具体的 Python 代码示例展示这一过程: ```python def sieve_euler_phi_and_prefix_sum(limit): phi = [0] * (limit + 1) prefix_sum = [0] * (limit + 1) primes = [] # 初始化 phi[1] = 1 for i in range(2, limit + 1): if not used[i]: phi[i] = i - 1 primes.append(i) j = 0 while j < len(primes) and primes[j] * i <= limit: idx = primes[j] * i used[idx] = True if i % primes[j] == 0: phi[idx] = phi[i] * primes[j] break else: phi[idx] = phi[i] * (primes[j] - 1) j += 1 # 更新前缀 prefix_sum[i] = prefix_sum[i - 1] + phi[i] return phi, prefix_sum # 参数设置 N = int(input()) used = [False] * (N + 1) phis, sums = sieve_euler_phi_and_prefix_sum(N) print(sums[N]) ``` 此段程序定义了一个名为 `sieve_euler_phi_and_prefix_sum` 函数接受上限参数 `limit` 并返回两个列表分别代表各个索引处对应欧拉函数以及它们直到当前位置为止所形成的连续求序列[^1][^2]。 #### 结果解释 当调用上述函数传入适当大小 N 后即可获取所需区间范围内任意两点间欧拉函数之的结果。例如查询某特定区间的欧拉函数合计只需简单做差运算即得解。 ---
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