整数划分小记

一、简单介绍

参加wiki页面：http://en.wikipedia.org/wiki/Partition_(number_theory)

二、基本形式

例题：POJ 3014 Cake Pieces and Plates

题意：(m的n划分的总数)

给你m个东西，放在n个相同的盒子中，且每个盒子可以放任意多，问有多少种放法。

思路：

记dp[i][j]表示j个东西放i个盒子中的方法数。

则状态只有2种：有空的，和没有空的。

即dp[i][j] = 有空的 + 没有空的。

情况1：j < i

没有空的方法数为0，有空的时，把一个盒子单独拿出来当做空的，剩下的任意放就是dp[i - 1][j]

所以dp[i][j] = dp[i - 1][j] + 0

情况2：j == i

没有空的时，有且仅有一种情况。

有空的时，方法同上，单独取出一个，方法数：dp[i - 1][j]

所以dp[i][j] = dp[i - 1][j] + 1

情况3：j > i

没有空的时，可以从j中拿出i个依次放到i个盒子中，剩下的随便放即可，方法数dp[i][j - i]

有空的时，同上，dp[i - 1][j]

所以dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]

完整代码：

/*1875ms,59024KB*/

#include<cstdio>
const int mod = 1000000007;

int dp[4505][4505];

int part(int m, int n)
{
	int i, j;
	for (j = 1; j <= m; ++j) dp[1][j] = 1;
	for (i = 2; i <= n; ++i)
	{
		for (j = 1; j <= m; ++j)
		{
			dp[i][j] = dp[i - 1][j];
			if (i == j) dp[i][j]++;
			if (j > i) dp[i][j] += dp[i][j - i];
			if (dp[i][j] >= mod) dp[i][j] -= mod;
		}
	}
	return dp[n][m];
}

int main()
{
	int n, m;
	scanf("%d%d", &n, &m);
	printf("%d\n", part(m, n));
	return 0;
}

另一种写法：

#include<cstdio>

int dp[100][100];

int part(int n, int k)
{
	if (dp[k][n]) return dp[k][n];
	int i, j;
	dp[0][0] = 1;
	for (i = 1; i <= k; ++i)
		for (j = 0; j <= n; ++j)
			dp[i][j] = (j >= i ? dp[i - 1][j] + dp[i][j - i] : dp[i - 1][j]);
	return dp[k][n];
}

int main()
{
	for (int i = 0; i < 100; ++i)
		printf("%d\n", part(i, i));
	return 0;
}

相似题目：

POJ 1283 Moving Computer

POJ 1664 放苹果

三、附带一些限制的整数划分

比如：奇划分数，即将n划分为若干正奇数之和的划分数

如3=1+2=1+1+1，所以3的奇划分数为2

设f[i][j]为将i划分为j个奇数之和的划分数，g[i][j]为将i划分为j个偶数之和的划分数。

由于将g[i][j]的j个划分都去掉1，可以得到f[i-j][j]，所以g[i][j] = f[i-j][j]。

f[i][j]中有包含1的划分方案和不包含1的划分方案。对于包含1的划分方案，可以将1的划分除去，转化为“将i-1划分为j-1个奇数之和的划分数”，即f[i-1][j-1]；对于不包含1的划分方案，对j个划分每一个都去掉一个1，即为将i-j划分为j个偶数之和的划分数，即g[i-j][j]。

所以f[i][j]=f[i-1][j-1]+g[i-j][j]。

f[n][0]+f[n][1]+……+f[n][n]为将n划分为若干奇数的划分数。

完整代码：

#include<cstdio>
const int mx = 1005;

int f[mx][mx], g[mx][mx];

int solve(int n)
{
	f[0][0] = g[0][0] = 1;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		for (int j = 1; j <= i; j++)
		{
			g[i][j] = f[i - j][j];
			f[i][j] = g[i - j][j] + f[i - 1][j - 1];
		}
	int ans = 0;
	for (int i = 0; i <= n; i++)
		ans += f[n][i];
	return ans;
}

int main()
{
	int n;
	while (~scanf("%d", &n))
		printf("%d\n", solve(n));
	return 0;
}

其他的还有很多，最常见的是和背包相联系的，比如

POJ 1014 Dividing (多重背包)

POJ 3181 Dollar Dayz (找零钱问题，完全背包)

UVa 674 Coin Change (找零钱问题，完全背包)