20、指数族数据的稀疏主成分分析：方法、联系与应用

指数族数据的稀疏主成分分析：方法、联系与应用

在处理指数族数据的主成分分析（PCA）时，稀疏指数族主成分分析（sparse ePCA）是一种强大的工具。它结合了指数族数据的特性和稀疏性约束，为高维数据的降维和分析提供了有效的解决方案。本文将详细介绍解决稀疏ePCA问题的两种主要策略：逐次优化-最小化（MM）算法和凸共轭变换，并探讨其与标准ePCA和稀疏PCA的联系，最后通过面部图像聚类的应用案例展示其性能。

解决稀疏ePCA问题的策略

解决稀疏ePCA问题主要有两种策略：MM算法和凸共轭变换。

逐次优化 - 最小化（MM）算法

为了解决非二次目标函数和非凸约束带来的求解困难，MM算法通过使用二次替代函数作为目标函数，将问题转化为一个更容易求解的最小化问题。根据Procrustes旋转定理，在正交约束下最小化二次函数可以使用闭式更新规则高效求解。

对于稀疏ePCA问题，目标函数可以重写为：
[f(\Theta) = \sum_{i=1}^{n} A(\theta_i) - tr(\Theta X^T) + P(W, \lambda)]
其中，(\Theta = ZW^T + 1b^T)。

Zhang和She定义了替代函数：
[g(\Theta|\Theta_k) = l(\Theta_k) + \nabla_{\Theta}l(\Theta_k)(\Theta - \Theta_k)^T + \frac{\rho_k}{2} |\Theta - \Theta_k|_F^2 + P(W, \lambda)]
当设置足够大的(\rho_k)值时，通过泰勒展开可以实现(g(b, Z,