13、L1范数主成分分析的抗异常值数据处理及结构损伤与故障检测

L1范数主成分分析的抗异常值数据处理及结构损伤与故障检测

在数据处理和分析领域，主成分分析（PCA）是一种常用的统计技术。传统的PCA在处理存在异常值的数据时可能会受到较大影响，而L1范数主成分分析（L1 - PCA）则展现出了更好的抗异常值能力。同时，PCA结合统计假设检验在结构损伤和故障检测方面也有着重要的应用。

L1 - PCA的复杂度分析

L1 - BF算法在初始化位翻转迭代时，通过对矩阵X进行奇异值分解（SVD）来计算v，其复杂度为$O(N Dmin{N, D})$。在第一次迭代开始时，计算$XB(0)$和$|XB(0)| *$的复杂度较低，为$O(NdK)$。求解特定问题（式17）的最坏情况成本为$O(N K(K^2 + d))$。将最大迭代次数设为$NK$，找到$B {bf}$的总最坏情况成本为$O(N Dmin{N, D} + N^2K^2(K^2 + d))$。从$B_{bf}$计算$Q_{bf}$还需额外的$O(N Dmin{N, D} + N DK)$复杂度。由于$K ≤ d ≤ min{N, D}$，L1 - BF的总复杂度为$O(N Dmin{N, D} + N^2K^2(K^2 + d))$。

L1 - PCA的数值研究

• 线拟合研究
  • 首先生成一个$2×40$的数据矩阵$X$，其每列独立地从多元高斯分布$N(0_2, R)$中抽取，其中$R = \begin{bmatrix}15 & 12 \ 12 & 29\end{bmatrix}$。在图1a中，绘制了矩阵$X$中的数据点，同时绘制了$X$的L2主成分（PC