15、多值过程吸引子与奥恩斯坦 - 乌伦贝克过程的莱维面积研究

多值过程吸引子与奥恩斯坦 - 乌伦贝克过程的莱维面积研究

1. 多值过程吸引子

在多值过程的研究中，存在一个与问题 (P) 相关的 m - 过程 U。对于几乎处处的 $(x, s) \in \Gamma_C \times (t_0, t)$，这里涉及到 Kuratowski - Painlevé 上极限的概念，定义如下：
$K - \limsup_{n \to \infty} A_n = {x \in \mathbb{R} | x = \lim_{k \to \infty} x_{n_k}, x_{n_k} \in A_{n_k}, n_1 < n_2 < \cdots < n_k < \cdots}$

由于 $\xi_n(x, s) \in \partial j(x, s, u_{n\tau}(x, s))$ 几乎处处成立，且多值映射 $\lambda \to \partial j(x, t, \lambda)$ 的图像是封闭的，所以有：
$\text{conv}(K - \limsup_{n \to \infty} {\xi_n(x, s)}) \subset \text{conv}(\partial j(x, s, u_{\tau}(x, s))) = \partial j(x, s, u_{\tau}(x, s))$
进而得出 $\xi(x, s) \in \partial j(x, s, u_{\tau}(x, s))$ 几乎处处成立。

基于相关引理，我们得到如下定理：
定理 9.4：与问题 (P) 相关的 H 上的 m - 过程 U 有一个 $D_{\sigma}$ - 拉回吸引子。这个吸引子是不变的，并